/Szkoła średnia/Zadania maturalne
Egzamin Maturalny
z Matematyki (termin dodatkowy)
formuła 2015
poziom rozszerzony 2 czerwca 2023 Czas pracy: 180 minut
Zadania zamknięte
Wartość wyrażenia jest równa
A) B)
C)
D) 4
Dany jest trójkąt o bokach długości 4, 5 oraz 6. Cosinus największego kąta wewnętrznego tego trójkąta jest równy
A) B)
C)
D)
Reszta z dzielenia wielomianu przez dwumian
jest równa
A) B)
C) 25 D) 41
Funkcja jest określona dla każdej liczby rzeczywistej
. Fragment wykresu funkcji
przedstawiono na poniższym rysunku.
Funkcja jest określona wzorem
dla każdej liczby rzeczywistej
. Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji
.
Zadania otwarte
Oblicz granicę
![3 lim --4n--−--2n-+-1---. n→+ ∞ 3n3 − n2 − 2n + 3](https://img.zadania.info/zes/0043965/HzesT21x.png)
Funkcja jest określona wzorem
dla każdego
. Punkt
należy do wykresu funkcji
. Oblicz
oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji
w punkcie
.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej prawdziwa jest nierówność
![a2 + 16-≥ 12. a](https://img.zadania.info/zes/0043965/HzesT31x.png)
Dany jest okrąg . Przez punkt
poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio –
oraz
. Przez punkt
leżący na odcinku
poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie
, która przecięła odcinek
w punkcie
(zobacz rysunek).
Wykaż, że jeżeli oraz
, to trójkąt
jest równoramienny.
Dany jest nieskończony szereg geometryczny
![2x − -6x---+ ---18x---− --54x---+ ... x − 1 (x − 1 )2 (x− 1)3](https://img.zadania.info/zes/0043965/HzesT45x.png)
Wyznacz wszystkie wartości zmiennej (różnej od 0 i od 1), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa
.
Rozwiąż równanie w zbiorze
.
W pudełku umieszczono kul (
) wśród których dokładnie 2 kule są czarne, a pozostałe kule są białe. Z tego pudełka losujemy jedną kulę i odkładamy ją na bok. Jeżeli wylosowana kula jest biała, to do pudełka wrzucamy kulę czarną, a gdy wylosowana kula jest czarna, to do pudełka wrzucamy kulę białą. Po przeprowadzonej w ten sposób zmianie zawartości prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tego pudełka jest równe
. Oblicz
.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
![mx 2 − (m + 1 )x− 2m + 3 = 0](https://img.zadania.info/zes/0043965/HzesT55x.png)
ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste oraz
, spełniające warunki:
![1 1 x1 ⁄= 0, x2 ⁄= 0 oraz -2+ -2-< 1. x1 x2](https://img.zadania.info/zes/0043965/HzesT58x.png)
Czworokąt wypukły jest wpisany w okrąg o promieniu 4. Kąty
i
są proste (zobacz rysunek). Przekątne
i
tego czworokąta przecinają się w punkcie
tak, że
oraz
.
Oblicz długości boków czworokąta .
Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne , w których odcinek łączący punkt
przecięcia przekątnych
i
podstawy
z dowolnym wierzchołkiem podstawy
ma długość
(zobacz rysunek).
-
Wyznacz zależność objętości
graniastosłupa od jego wysokości
i podaj dziedzinę funkcji
.
-
Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.
Okrąg o środku w punkcie
jest określony równaniem
. Okrąg
ma środek w punkcie
takim, że
. Promienie tych okręgów są sobie równe. Figura
składa się z dwóch okręgów:
oraz
. Punkty
i
są punktami przecięcia figury
z tą z jej osi symetrii, która jest prostą o dodatnim współczynniku kierunkowym. Wyznacz punkt
, leżący na jednej z osi symetrii figury
, taki, że pole trójkąta
jest równe 40.