Zadanie nr 1659539

Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości ostrosłupa oraz promienia okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa 6.

Wykaż, że objętość każdego z takich ostrosłupów w zależności od długości promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem

$√ -- --3- 2 3 V (R ) = 4 ⋅(6R − R ).$
Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na podstawie tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.

Rozwiązanie

Zaczynamy oczywiście od schematycznego rysunku.

ZINFO-FIGURE

Jeżeli długością krawędzi podstawy ostrosłupa, to

$√ -- √ -- 2 2 a 3 a 3 R = --CE = --⋅ -----= -----. 3 3 2 3$

Stąd

$3 √ -- a = √--R = 3R 3$

i objętość ostrosłupa jest równa

$√ -- √ -- √ -- 1 a2 3 1 3 3R2 3 V (R) = -⋅ ------⋅H = --⋅------- ⋅(6 − R ) = ----(6R2 − R 3). 3 4 3 4 4$
Zauważmy, że dziedziną funkcji jest przedział . Liczymy jej pochodną

$√ -- √ -- ′ --3- 2 3--3- V (R ) = 4 (1 2R − 3R ) = − 4 R(R − 4).$

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia na przedziale i ujemna na przedziale . To oznacza, ze funkcja rośnie na przedziale i maleje na przedziale . Największą wartość funkcji otrzymamy więc dla . Objętość jest wtedy równa

$√ -- √ -- √ -- --3- 2 3 --3- --3- √ -- V (4) = 4 (6R − R ) = 4 (96− 64) = 4 ⋅3 2 = 8 3.$

Odpowiedź: ,