Zadanie nr 1659539
Rozważamy wszystkie ostrosłupy prawidłowe trójkątne, w których suma wysokości ostrosłupa oraz promienia
okręgu opisanego na podstawie tego ostrosłupa jest równa 6.
-
Wykaż, że objętość
każdego z takich ostrosłupów w zależności od długości
promienia okręgu opisanego na podstawie ostrosłupa jest określona wzorem
-
Wyznacz długość promienia okręgu opisanego na podstawie tego z rozważanych ostrosłupów, którego objętość jest największa. Oblicz tę największą objętość.
Rozwiązanie
Zaczynamy oczywiście od schematycznego rysunku.
-
Jeżeli
długością krawędzi podstawy ostrosłupa, to
Stąd
i objętość ostrosłupa jest równa
-
Zauważmy, że dziedziną funkcji
jest przedział
. Liczymy jej pochodną
Widać teraz, że pochodna jest dodatnia na przedziale
i ujemna na przedziale
. To oznacza, ze funkcja
rośnie na przedziale
i maleje na przedziale
. Największą wartość funkcji
otrzymamy więc dla
. Objętość jest wtedy równa
Odpowiedź:,