Zadanie nr 8227244
Podstawy trapezu mają długości 9 i 12. Oblicz długość odcinka łączącego środki przekątnych tego trapezu.
Rozwiązanie
Rozpoczynamy od rysunku.
Sposób I
Zauważmy, że trójkąty i
są podobne (maja równe kąty) i skala ich podobieństwa jest równa

Stąd

To pozwala obliczyć jaką cześć przekątnych i
stanowią odcinki
i
.

Z drugiej strony i
. Stąd

Trójkąt jest więc podobny do trójkąta
w skali 1:8. Stąd

Sposób II
Niech i
będą punktami wspólnymi prostej
(przechodzącej przez środki przekątnych) i ramion trapezu. Zauważmy, że na mocy twierdzenia Talesa

Punkty i
są więc środkami ramion trapezu. W takim razie odcinek
jest odcinkiem łączącym środki boków w trójkącie
. Stąd

Podobnie, odcinek jest odcinkiem łączącym środki boków w trójkącie
. Stąd

Sposób III
Tak jak w poprzednim sposobie zauważamy, że przedłużenie odcinka przecina ramiona trapezu w ich środkach
i
. Jak wiadomo odcinek
ma długość
. Odcinki
i
są odcinkami łączącymi środki boków odpowiednio w trójkątach
i
. Zatem
. Mamy zatem

Odpowiedź: