Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR

Ekstrema funkcji kwadratowej

Po wyrzuceniu ze szkoły pochodnych, funkcja kwadratowa stała się tematem przewodnim wszystkich zadań na ekstrema. Sytuacja jest w zasadzie dość prosta – zadania tego typu sprowadzają się do wyznaczenia najmniejszej/największej wartości funkcji kwadratowej na pewnym przedziale. Możliwe konfiguracje są następujące.

  • Jeżeli szukamy wartości największej, ramiona paraboli są skierowane w dół i wierzchołek jest zawarty w rozważanym przedziale,
    PIC

    to wartość największa jest osiągana w wierzchołku, to znaczy

     ( ) f = f (x ) = y dla (x ,y ) = −b--, −-Δ . max w w w w 2a 4a
  • Jeżeli szukamy wartości najmniejszej, ramiona paraboli są skierowane do góry i wierzchołek jest zawarty w rozważanym przedziale, to wartość najmniejsza jest osiągana w wierzchołku.
  • W każdej innej sytuacji, wartość największa/najmniejsza jest osiągana w jednym z końców przedziału. W którym? – trzeba policzyć wartości w obu końcach i je porównać.
    PIC

Znajdźmy najmniejszą wartość funkcji

f(x) = 2x2 − 4x + 7

na przedziale ⟨− 1,0⟩ .
Ponieważ xw = 1 ⁄∈ ⟨− 1,0⟩ , wartość ta jest przyjmowana w jednym z końców przedziału. Mamy

f(− 1) = 13 > f(0) = 7 .

Zatem najmniejsza wartość to f(0) = 7 .

Ważna jest dziedzina! W zadaniach na ekstrema bardzo ważne (i często kłopotliwe) jest wyznaczenie przedziału, na którym szukamy ekstremum. Ogólna zasada jest taka, że gdy wyznaczymy już wzór funkcji f (x) , której mamy znaleźć ekstremum, to musimy ustalić jakie są możliwe wartości argumentu x . Jak to zrobić? – to zależy od rodzaju i treści zadania: jeżeli x jest długością jakiegoś odcinka to x > 0 , jeżeli x = sin α to x ∈ ⟨− 1,1⟩ , jeżeli x = 2t to x ∈ (0,+ ∞ ) itd.

Spróbujmy znaleźć największe możliwe pole prostokąta o obwodzie 4 .
Jeżeli oznaczymy boki prostokąta przez a i 2 − a , to szukamy największej możliwej wartości wyrażenia a(2− a) . Na jakim przedziale? – boki prostokąta nie mogą być ujemne, więc a ∈ (0,2) . Łatwo policzyć, że maksymalne pole mamy dla kwadratu o boku 1.

Z krawędzi dachu podrzucono kamień, który po 2 sekundach spadł na ziemię. Wysokość, na jakiej znajdował się kamień nad ziemią po upływie t sekund od chwili jego podrzucenia, opisuje funkcja  2 h(t) = − 5t + 5t+ 1 0 . Na jaką największą wysokość wzniósł się ten kamień?
Na jakim przedziale szukamy maksimum funkcji h (t) – na takim, jak zmienia się czas, czyli dla t ∈ ⟨0,2⟩ .

Nie chcesz się rejestrować ani opłacać abonamentu? Zapłać przelewem 6,90 zł lub telefonicznie 8,90 zł, a otrzymasz dwudziestominutowy dostęp do wszystkich materiałów dostępnych w portalu.