Zestaw użytkownika nr 2075_1986

Wielomiany Super trudne27 Lutego 2011Czas pracy: 210 min.Suma punktów: 200

Zadanie 1

(5 pkt)

Dany jest wielomian 3 W (x) = x + 4x + p , gdzie p > 0 jest liczbą pierwszą. Znajdź wiedząc, że W (x) ma pierwiastek całkowity.

Zadanie 2

(5 pkt)

Liczba 2 jest miejscem zerowym wielomianu W (x) . Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P (x) = x 2 − 3x + 2 jeśli wiadomo, że w wyniku dzielenia wielomianu W (x ) przez dwumian (x − 1) otrzymujemy resztę 5.

Zadanie 3

(5 pkt)

Reszta z dzielenia wielomianu W (x) przez dwumian x − 1 jest równa 1, zaś reszta z dzielenia tego wielomianu przez x − 2 jest równa 4. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W (x) przez wielomian x 2 − 3x + 2 .

Zadanie 4

(5 pkt)

Przedstaw wielomian 4 3 2 W (x) = x − 2x − 3x + 4x − 1 w postaci iloczynu dwóch wielomianów stopnia drugiego o współczynnikach całkowitych i takich, że współczynniki przy drugich potęgach są równe jeden.

Zadanie 5

(5 pkt)

Dana jest funkcja 3 f(x ) = x − 3x dla x ∈ (1,+ ∞ ) . Zbadaj na podstawie deﬁnicji monotoniczność tej funkcji w przedziale .

Zadanie 6

(5 pkt)

Wyznacz zbiór wartości funkcji 2 2 2 f(x) = (x − 2x − 2) + 4 (x − 2x− 2)− 1 .

Zadanie 7

(5 pkt)

Oblicz najmniejszą wartość wielomianu W (x) = (x − 1)(x − 3)(x − 5 )(x − 7) .

Zadanie 8

(5 pkt)

Rozłóż na czynniki drugiego stopnia wielomian 4 x + 1 .

Zadanie 9

(5 pkt)

Wielomian 3 2004 W (x) = (2x + 3x − 6) , po wykonaniu potęgowania i dokonaniu redukcji wyrazów podobnych, zapisano w postaci W (x) = anxn + an− 1xn−1 + ...+ a2x2 + a1x+ a0 . Oblicz sumę an + a + ...+ a + a + a n− 1 2 1 0 .

Zadanie 10

(5 pkt)

Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej wartość wielomianu W (x) = x5 − 5x3 + 4x jest liczbą podzielną przez 120.

Zadanie 11

(5 pkt)

Wykaż, że jeżeli wielomian 6 4 2 W (x) = x + ax + bx + c jest podzielny przez trójmian x2 + x+ 1 , to jest również podzielny przez trójmian x 2 − x + 1 .

Zadanie 12

(5 pkt)

Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu 2 2005 W (x) = (x − 3x + 1) przez wielomian P(x) = x 2 − 4x + 3 .

Zadanie 13

(5 pkt)

Wielomian 4 2 2005 W (x) = (x − 9x + 7) , po wykonaniu potęgowania i dokonaniu redukcji wyrazów podobnych, zapisano w postaci W (x) = anxn + an− 1xn−1 + ...+ a2x2 + a1x+ a0 . Oblicz sumę an + a + ...+ a + a + a n− 1 2 1 0 .

Zadanie 14

(5 pkt)

Liczba -7 jest miejscem zerowym W (x) . Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P(x) = x 2 + 5x − 14 , jeśli wiadomo, że w wyniku dzielenia wielomianu W (x ) przez dwumian (x − 2) otrzymujemy resztę 18.

Zadanie 15

(5 pkt)

Wykaż, że wielomian 2m m W (x) = (x − 2) + (x − 1) − 1 jest podzielny przez wielomian P(x) = x 2 − 3x + 2 dla każdego m ∈ N + .

Zadanie 16

(5 pkt)

Dany jest wielomian 4 3 2 W (x) = x + 2mx + 4x z parametrem .

Wiedząc, że wykres tego wielomianu jest symetryczny względem prostej , wyznacz .
Dla wyznaczonej wartości parametru uzasadnij, że nierówność jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą .

Zadanie 17

(5 pkt)

W wyniku jakiego przekształcenia (lub przekształceń) wykresu funkcji f (x) = x4 + 3x można otrzymać wykres funkcji , jeżeli

;
;
?

Zadanie 18

(5 pkt)

Wykres funkcji 3 f(x ) = x + 3x + 1 przekształcono w symetrii względem prostej x = 2 i otrzymano wykres funkcji g (x) . Wyznacz wzór funkcji g (x ) .

Zadanie 19

(5 pkt)

Dany jest wielomian 3 W (x) = x + 4x + p , gdzie p > 0 jest liczbą pierwszą. Znajdź wiedząc, że W (x) ma pierwiastek całkowity.

Zadanie 20

(5 pkt)

Liczby x = 1 i x = − 2 są pierwiastkami wielomianu 4 3 2 ax + 2x − 3ax + 2ax − 6x + 4 . Wiedząc, że wielomian ten jest kwadratem wielomianu stopnia 2, oblicz .

Zadanie 21

(5 pkt)

Wielomian 3 x − 9x + 4 = 0 ma 3 pierwiastki rzeczywiste.

Oblicz sumę odwrotności tych pierwiastków.
Ustal, ile jest pierwiastków dodatnich.
Oblicz odwrotność sumy kwadratów pierwiastków.
Oblicz sumę kwadratów odwrotności tych pierwiastków.

Zadanie 22

(5 pkt)

Znajdź wielomian o współczynnikach całkowitych, którego pierwiastkiem jest liczba √ -- √ -- 3+ 2− 1 .

Zadanie 23

(5 pkt)

Wielomian 3 2 W (x) = (m − 4)x − (m + 6)x − (m − 1)x+ m + 3 jest podzielny przez dwumian x + 1 . Dla jakich wartości parametru wielomian W (x) ma dokładnie dwa pierwiastki?

Zadanie 24

(5 pkt)

Dla jakich wartości parametru wielomian 4 3 2 W (x ) = 2x − 2x − 6x + 1 0x+ m ma pierwiastek trzykrotny?

Zadanie 25

(5 pkt)

Wiedząc, że suma kwadratów pierwiastków równania

3 2 mx + 6mx + (8m − 5 )x − 10 = 0

jest równa 30, wyznacz .

Zadanie 26

(5 pkt)

Rozważmy równanie 4 √ -- 2 9x + 2− 5x − 1 = 0 .

Uzasadnij, że równanie to ma 4 pierwiastki.
Oblicz sumę szóstych potęg wszystkich pierwiastków tego równania.

Zadanie 27

(5 pkt)

Dla jakich wartości parametru równanie 2 2 (x − m ) [m(x − m ) − m − 1]+ 1 = 0 ma więcej pierwiastków dodatnich niż ujemnych?

Zadanie 28

(5 pkt)

Wyznacz współczynniki i wielomianu 3 2 W (x ) = x − 4x + cx + d wiedząc, że liczba 1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu W (x) .

Zadanie 29

(5 pkt)

Udowodnij, że jeżeli wielomian 3 W (x) = x + px + q ma trzy pierwiastki, to jest liczbą ujemną.

Zadanie 30

(5 pkt)

Dla jakich wartości parametru równanie 5 3 2 x + (1 − 2m )x + (m − 1)x = 0 ma

pięć pierwiastków;
dokładnie 3 pierwiastki;
tylko jeden pierwiastek?

Zadanie 31

(5 pkt)

Dla jakich wartości parametru wielomian 3 W (x) = x − 3px + 9p − 27 ma trzy różne pierwiastki rzeczywiste?

Zadanie 32

(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

2 2 (x + 3mx + 1)(x + 2x + m) = 0

ma cztery różne pierwiastki, których suma sześcianów jest równa 4.

Zadanie 33

(5 pkt)

Wykaż, że jeżeli wielomian 3 W (x) = x + ax + b ma pierwiastek dwukrotny, to 4a3 + 27b 2 = 0 .

Zadanie 34

(5 pkt)

Wyznacz te wartości parametru , dla których równanie mx 3 + (9m − 3)x2 + (2 − m )x = 0 ma co najmniej jedno rozwiązanie dodatnie.

Zadanie 35

(5 pkt)

Wyznacz wartości parametrów i dla których jedynymi rozwiązaniami równania

x4 + (a − b)x3 − (ab + 1)x2 − (a − b)x + ab = 0

są liczby x = −1 i x = 1 .

Zadanie 36

(5 pkt)

Wykaż, że równanie 2 3 4 1 − 2x + 4x − 8x + 16x = 0 nie ma rozwiązań rzeczywistych.

Zadanie 37

(5 pkt)

Dla jakich wartości parametru zbiór rozwiązań równania 4 2 x + mx − m = 0 jest dwuelementowy?

Zadanie 38

(5 pkt)

Wyznacz wartość parametru , dla którego równanie

3 2 x + (m − 2)x + (6 − 2m )x − 12 = 0

ma trzy pierwiastki x 1,x2,x3 spełniające warunki x3 = −x 1 oraz x2 = x1 − 1 .

Zadanie 39

(5 pkt)

Dla jakich wartości parametru nierówność 4 2 x + kx + 1 > 0 jest prawdziwa dla każdego x ∈ R ?

Zadanie 40

(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametrów a,b , dla których nierówność

2 2 (x − x − 2)(x − 2ax + 3bx − 6ab) ≥ 0

jest spełniona przez każdą liczbę rzeczywistą.

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF