Zestaw użytkownika nr 2233_8331

Zestaw użytkownika
nr 2233_8331

Zadanie 1

Uzasadnij, że punkty przecięcia dwusiecznych kątów wewnętrznych prostokąta ABCD są wierzchołkami kwadratu.

Zadanie 2

Punkt leży wewnątrz prostokąta ABCD (zob. rysunek). Udowodnij, że AM 2 + CM 2 = BM 2 + DM 2 .

Zadanie 3

Dany jest prostokąt ABCD , którego boki mają długości i . Punkt jest punktem przecięcia się przekątnych prostokąta.

Wykaż, że pole trójkąta jest cztery razy mniejsze od pola prostokąta .
Wiedząc dodatkowo, że i , oblicz pole kwadratu, którego bok ma długość .

Zadanie 4

W prostokącie ABCD , w którym |BC | = 8 połączono wierzchołek z punktem leżącym na boku . Odcinek ten przeciął przekątną w punkcie .

Wiedząc, że odległość punktu od boku jest równa 4, oraz że |AE | = 10 oblicz długość boku prostokąta.

Zadanie 5

W prostokącie, którego krótszy bok ma długość 8 zawarty jest kwadrat o boku równym różnicy

długości boków prostokąta, i którego przekątne są równoległe do boków prostokąta.

Wyraź pole pozostałe po wycięciu kwadratu z prostokąta jako funkcję dłuższego boku prostokąta. Wyznacz dziedzinę otrzymanej funkcji.
Wykaż, że różnica pól prostokąta i kwadratu jest zawsze większa od 64.

Zadanie 6

W prostokącie ABCD wierzchołek połączono odcinkami ze środkami i boków i , zaś i to punkty przecięcia tych odcinków z przekątną .

Uzasadnij, że odcinki i są jednakowej długości.
Uzasadnij, że trójkąty i mają równe pola.

Zadanie 7

Na bokach i kwadratu ABCD o boku długości 1 wybrano punkty i w ten sposób, że AE = 1k i DF = m1 , dla k,m ∈ (1,+ ∞ ) . Niech będzie punktem przecięcia odcinków i

Wykaż, że jeżeli trójkąt jest prostokątny to .
Oblicz cosinus kąta jeżeli i .

Zadanie 8

Na bokach , i kwadratu ABCD wybrano punkty , i ten sposób, że |DK | = 2|KA | , |DM | = 2 |MC | , oraz |BL | = 2|LC | .

Uzasadnij, że trójkąt jest prostokątny.
Oblicz tangensy kątów ostrych trójkąta .

Zadanie 9

Na zewnątrz kwadratu ABCD na bokach i zbudowano trójkąty równoboczne AEB i BF C . Uzasadnij, że trójkąt DEF jest równoboczny.

Zadanie 10

Koło i kwadrat mają równe obwody. Wykaż, że pierwsza z tych ﬁgur ma większe pole.

Zadanie 11

W kwadracie połączono odcinkiem środki przeciwległych boków. Wiedząc, że przekątne tak utworzonych prostokątów dzielą się na odcinki długości 1, oblicz pole wyjściowego kwadratu.

Zadanie 12

W kwadrat ABCD o boku długości 17 wpisano kwadrat EFGH , jak pokazano na rysunku. Wiedząc, że przekątna kwadratu EFGH ma długość √ -- 1 3 2 oblicz tangens kąta zaznaczonego na rysunku.

Zadanie 13

Czworokąty ABCD i AP QR są kwadratami. Udowodnij, że |BP | = |DR | .

Zadanie 14

Na bokach i równoległoboku ABCD zbudowano kwadraty CDEF i BCGH (zobacz rysunek).

Udowodnij, że |AC | = |FG | .

Zadanie 15

Prosta przechodząca przez wierzchołek równoległoboku ABCD przecina jego przekątną w punkcie i bok w punkcie , a prostą w punkcie . Udowodnij, że

|EA |2 = |EF| ⋅|EG |.

Zadanie 16

Punkt leży na ramieniu trapezu ABCD , w którym AB ∥ CD . Udowodnij, że ∡AED = ∡BAE + ∡CDE .

Zadanie 17

Punkt jest środkiem okręgu wpisanego w trapez ABCD ( AB ∥ CD ). Wykaż, że trójkąt SBC jest prostokątny.

Zadanie 18

W trapezie ABCD długość podstawy jest równa 18, a długości ramion trapezu i są odpowiednio równe 25 i 15. Kąty ADB i DCB , zaznaczone na rysunku, mają równe miary. Oblicz obwód tego trapezu.

Zadanie 19

Dany jest trapez ABCD o podstawach i . Przekątne tego trapezu przecinają się w punkcie . Wykaż, że |SA |⋅|SD | = |SB |⋅|SC | .

Zadanie 20

W trapezie ABCD , w którym AB ∥ DC oraz |AB | > |DC | , przekątna zawiera się w dwusiecznej kąta ABC . Wykaż, że |DC | = |BC | .

Zadanie 21

Przekątna trapezu równoramiennego tworzy z dłuższą podstawą kąt , a z ramieniem kąt . Wykaż, że stosunek pól trójkątów, na które został podzielony trapez tą przekątną, jest równy sisinn5αα .

Zadanie 22

Dwa przeciwległe boki czworokąta wpisanego w okrąg mają równe długości. Wykaż, że czworokąt ten jest trapezem.

Zadanie 23

Podstawy trapezu równoramiennego mają długości i , gdzie a > b . Z wierzchołka kąta rozwartego trapezu poprowadzono wysokość. Uzasadnij, że wysokość ta dzieli dłuższą podstawę na odcinki o długościach a−b- 2 i a+b- 2 .

Zadanie 24

Wykaż, że istnieją dokładnie dwie liczby naturalne takie, że trójkąt o bokach n ,n+ 2,n + 3 jest rozwartokątny.

Zadanie 25

Udowodnij, że jeżeli w trójkącie dwa kąty nie są równe, to naprzeciw większego z nich leży dłuższy bok.

Zadanie 26

Wykaż, że pole trójkąta o bokach a,b,c i promieniu okręgu opisanego na nim jest równe a4bRc .

Zadanie 27

Odcinki i są wysokościami trójkąta ostrokątnego ABC , a punkt jest punktem ich przecięcia. Uzasadnij, że:

na czworokącie można opisać okrąg;
okręgi opisane na trójkątach i mają promienie równej długości.

Zadanie 28

Wykaż, że jeżeli w trójkącie a √ -- b = 2 to 2 2 cos α = 2 cos β − 1 .

Zadanie 29

W trójkąt ABC , w którym |∡BAC | = α oraz |∡ABC | = β , wpisano okrąg. Punkty K ,L,M są punktami styczności okręgu odpowiednio z bokami AB , BC i . Wykaż, że |∡MKL | = α+β- 2 .

Zadanie 30

Dane są dwa trójkąty: ABC oraz ′ ′ ′ A B C takie, że ′ α = α oraz ′ β + β = 180 .

Wykaż, że:

′ ′ |AC--|= |A-C-|. |BC | |B′C′|

Zadanie 31

Trójkąty ABC i DEF wpisano w ten sam okrąg. Udowodnij, że równość obwodów tych trójkątów jest równoważna równości sum sinusów ich kątów wewnętrznych.

Zadanie 32

W trójkącie ABC miara kąta ACB jest dwa razy większa od miary kąta CAB . Dwusieczna kąta ACB dzieli trójkąt ABC na dwa trójkąty. Uzasadnij, że jeden z otrzymanych trójkątów jest podobny do trójkąta ABC .

Zadanie 33

Uzasadnij wzór na pole trójkąta h2sin(α+β)- P = 2sin αsin β , gdzie i są miarami kątów trójkąta przyległych do boku, na który opuszczono wysokość .

Zadanie 34

Punkty i dzielą bok trójkąta ABC na trzy równe części (zobacz rysunek). Wykaż, że pole trójkąta ADE jest trzy razy mniejsze od pola trójkąta ABC .

Zadanie 35

Wykaż, że suma odległości dowolnego punktu wewnętrznego trójkąta od jego wierzchołków jest większa od połowy obwodu trójkąta.

Zadanie 36

W trójkącie ABC punkt jest środkiem okręgu wpisanego, a punkty KLM są punktami styczności okręgu wpisanego w trójkąt z bokami BC ,CA i odpowiednio.

Uzasadnij, że na czworokącie można opisać okrąg.
Wiedząc, że oraz oblicz miary kątów trójkąta .

Zadanie 37

W trójkącie ABC , o bokach długości a,b ,c , połączono odcinkiem wierzchołek z punktem na boku takim, że BE = p i EC = q . Uzasadnij, że jeżeli d = AE , to a(d2 + pq) = b2p + c2q (twierdzenie Stewarta).