Zestaw użytkownika nr 2393_8091

Zestaw użytkownika
nr 2393_8091

Zadanie 1

Suma drugiego, czwartego i szóstego wyrazu ciągu arytmetycznego jest równa 42, zaś suma kwadratów wyrazów drugiego i trzeciego jest równa 185. Wyznacz pierwszy wyraz i różnicę tego ciągu.

Zadanie 2

Podaj wzór na wyraz ogólny ciągu (an) określonego w następujący sposób: ciąg (an) jest ciągiem kolejnych liczb naturalnych, które przy dzieleniu przez 5 dają resztę 1.

Zadanie 3

Znajdź x , dla którego liczby x+ 1 x+1 2,2 ,2 + 6 w podanej kolejności tworzą ciąg arytmetyczny.

Zadanie 4

Dany jest ciąg (an) mający tę własność, że dla każdej liczby naturalnej n suma n początkowych wyrazów tego ciągu jest równa 12(7n2 − n) . Oblicz dwudziesty wyraz tego ciągu. Wykaż, że (an) jest ciągiem arytmetycznym.

Zadanie 5

Dany jest ciąg arytmetyczny an w którym a3 = 15 oraz a11 = − 1 7 .

  • Dla jakich n zachodzi równość 7an = a1 + a2 + a3 + ...+ an− 1 ?
  • Oblicz sumę pięćdziesięciu początkowych, ujemnych wyrazów ciągu an , które są podzielne przez 3.
Zadanie 6

Określ wzorem rekurencyjnym ciąg którego pierwszy i drugi wyraz jest równy 3, a każdy następny jest iloczynem dwóch poprzednich.

Zadanie 7

Rozwiąż układ równań:

( |{ x + y + z = m + 4 2x − y+ 2z = 2m + 2 |( 3x + 2y− 3z = 1 − 2m .

Dla jakich wartości parametru m liczby x,y i z są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego?

Zadanie 8

Dany jest ciąg arytmetyczny an w którym a3 = 15 oraz a11 = − 1 7 .

  • Dla jakich n zachodzi równość 7an = a1 + a2 + a3 + ...+ an− 1 ?
  • Oblicz sumę pięćdziesięciu początkowych, ujemnych wyrazów ciągu an , które są podzielne przez 3.
Zadanie 9

Liczby x1 i x2 są pierwiastkami równania 2 x + x+ A = 0 , a liczby x 3 i x 4 są pierwiastkami równania x2 + 4x + B = 0 . Wiadomo, że ciąg (x1,x2,x3,x 4) jest ciągiem geometrycznym o wyrazach całkowitych. Wyznacz A i B .

Zadanie 10

Długości boków trójkąta tworzą ciąg geometryczny. Jaki warunek spełniać musi iloraz tego ciągu?

Zadanie 11

Długości boków trójkąta tworzą trzy kolejne wyrazy ciągu arytmetycznego o różnicy 1. Oblicz długości boków tego trójkąta, jeśli jego pole wynosi √ --- 0,75 15 .

Zadanie 12

O ciągu (xn) dla n ≥ 1 wiadomo, że:

  • ciąg (an ) określony wzorem an = 3xn dla n ≥ 1 jest geometryczny o ilorazie q = 27 .
  • x + x + ⋅⋅⋅+ x = 145. 1 2 10

Oblicz x 1 .

Zadanie 13

Długości boków trójkąta są kolejnymi wyrazami rosnącego ciągu geometrycznego o ilorazie q , a cosinus jednego z jego kątów jest równy q − 4 .

  • Wyznacz q .
  • Wiedząc, że promień okręgu opisanego na tym trójkącie ma długość √ -- 2 2 , oblicz pole tego trójkąta.
Zadanie 14

Pierwszy, trzeci i jedenasty wyraz ciągu arytmetycznego o różnicy r ⁄= 0 są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego o ilorazie q . Dla jakich wartości parametru m funkcja f(x ) = x2 + mx + q osiąga minimum większe od -196?

Zadanie 15

W trójkąt równoboczny o boku długości a wpisano koło, w które następnie wpisano trójkąt równoboczny, a w ten trójkąt znów koło i tak dalej. Oblicz sumę pól wszystkich wpisanych kół.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania Edytuj w kreatorze