/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Dowolny/Długości odcinków

Zadanie nr 2815004

W okrąg o promieniu 4 wpisano trójkąt ABC . Długość boku AB jest równa 6. Bok BC ma długość  √ -- 4 3 i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta. Oblicz długość boku AC trójkąta ABC .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Przyjmijmy oznaczenia z rysunku i niech R = 4 oznacza promień okręgu opisanego na trójkącie ABC .


ZINFO-FIGURE


Na mocy twierdzenia sinusów mamy

2R = -AB-- ⇒ sinγ = AB--= 6-= 3. sin γ 2R 8 4

Sposób I

Korzystamy raz jeszcze z twierdzenia sinusów.

 √ -- √ -- BC BC 4 3 3 2R = ----- ⇒ sin α = ----= -----= ----. sinα 2R 8 2

To oznacza, że α = 60∘ lub α = 120∘ . Uzasadnimy teraz, że pierwsza ewentualność nie jest możliwa. Wiemy, że BC jest najdłuższym bokiem trójkąta, więc γ < α (bo jak wiadomo w trójkącie naprzeciwko większego kąta leży dłuższy bok). Jeżeli więc α = 60∘ , to γ < 60∘ i automatycznie β > 60∘ = α (bo suma tych 3 kątów to 180∘ ). To by jednak oznaczało, że najdłuższym bokiem trójkąta ABC jest bok AC .

Wiemy więc, że α = 1 20∘ i pozostałe dwa kąty trójkąta ABC są kątami ostrymi. Stąd

 ∘ ------- √ -- ∘ ---------- 9 7 co sγ = 1− sin 2γ = 1 − ---= ---- 16 4 cosα = cos120 ∘ = − cos 60∘ = − 1-. 2

Łatwo teraz obliczyć sinus trzeciego kąta trójkąta.

 ∘ sin β = sin (180 − (α + γ)) = sin(α + γ) = √ -- √ -- ( ) √ --- = sin α cosγ + sin γ cosα = --3-⋅--7-+ 3-⋅ − 1- = --21-−-3-. 2 4 4 2 8

Teraz raz jeszcze korzystamy z twierdzenia sinusów.

 √ --- -AC-- --21-−-3- √ --- 2R = sin β ⇒ AC = 2R ⋅sin β = 8 ⋅ 8 = 21 − 3.

Sposób II

Tym razem skorzystamy z twierdzenia cosinusów. Wiemy, że bok BC jest najdłuższym bokiem trójkąta, więc kąty β i γ są ostre (bo w trójkącie może być tylko jeden kąt rozwarty i jeżeli taki jest, to musi leżeć naprzeciwko boku BC ). W takim razie

 ∘ ---------- ∘ ------- √ -- cos γ = 1− sin 2γ = 1− -9-= --7. 16 4

Piszemy teraz twierdzenie cosiunsów w trójkącie ABC .

 2 2 2 AB = AC + BC − 2⋅AC ⋅BC cosγ √ -- √ 7- 36 = b2 + 4 8− 2 ⋅b ⋅4 3 ⋅---- √ --- 4 0 = b2 − 2 21b+ 12 / : 2 √ --- 0 = 1b2 − 21b + 6. 2

Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe

Δ = 21−--12 = 9 --- b = √ 21+ 3 lub b = √ 21 − 3.

Zauważmy teraz, ze

√ --- √ -- 21 + 3 ≈ 7,58 > 6,93 ≈ 4 3,

więc pierwsze rozwiązanie jest sprzeczne z założeniem, że najdłuższym bokiem trójkąta ABC jest bok BC . Zatem  √ --- AC = 21− 3 .  
Odpowiedź:  √ --- AC = 21− 3

Wersja PDF
spinner