Zadanie nr 2815004
W okrąg o promieniu 4 wpisano trójkąt . Długość boku
jest równa 6. Bok
ma długość
i jest najdłuższym bokiem tego trójkąta. Oblicz długość boku
trójkąta
.
Rozwiązanie
Przyjmijmy oznaczenia z rysunku i niech oznacza promień okręgu opisanego na trójkącie
.
Na mocy twierdzenia sinusów mamy
![2R = -AB-- ⇒ sinγ = AB--= 6-= 3. sin γ 2R 8 4](https://img.zadania.info/zad/2815004/HzadR3x.png)
Sposób I
Korzystamy raz jeszcze z twierdzenia sinusów.
![√ -- √ -- BC BC 4 3 3 2R = ----- ⇒ sin α = ----= -----= ----. sinα 2R 8 2](https://img.zadania.info/zad/2815004/HzadR4x.png)
To oznacza, że lub
. Uzasadnimy teraz, że pierwsza ewentualność nie jest możliwa. Wiemy, że
jest najdłuższym bokiem trójkąta, więc
(bo jak wiadomo w trójkącie naprzeciwko większego kąta leży dłuższy bok). Jeżeli więc
, to
i automatycznie
(bo suma tych 3 kątów to
). To by jednak oznaczało, że najdłuższym bokiem trójkąta
jest bok
.
Wiemy więc, że i pozostałe dwa kąty trójkąta
są kątami ostrymi. Stąd
![∘ ------- √ -- ∘ ---------- 9 7 co sγ = 1− sin 2γ = 1 − ---= ---- 16 4 cosα = cos120 ∘ = − cos 60∘ = − 1-. 2](https://img.zadania.info/zad/2815004/HzadR17x.png)
Łatwo teraz obliczyć sinus trzeciego kąta trójkąta.
![∘ sin β = sin (180 − (α + γ)) = sin(α + γ) = √ -- √ -- ( ) √ --- = sin α cosγ + sin γ cosα = --3-⋅--7-+ 3-⋅ − 1- = --21-−-3-. 2 4 4 2 8](https://img.zadania.info/zad/2815004/HzadR18x.png)
Teraz raz jeszcze korzystamy z twierdzenia sinusów.
![√ --- -AC-- --21-−-3- √ --- 2R = sin β ⇒ AC = 2R ⋅sin β = 8 ⋅ 8 = 21 − 3.](https://img.zadania.info/zad/2815004/HzadR19x.png)
Sposób II
Tym razem skorzystamy z twierdzenia cosinusów. Wiemy, że bok jest najdłuższym bokiem trójkąta, więc kąty
i
są ostre (bo w trójkącie może być tylko jeden kąt rozwarty i jeżeli taki jest, to musi leżeć naprzeciwko boku
). W takim razie
![∘ ---------- ∘ ------- √ -- cos γ = 1− sin 2γ = 1− -9-= --7. 16 4](https://img.zadania.info/zad/2815004/HzadR24x.png)
Piszemy teraz twierdzenie cosiunsów w trójkącie .
![2 2 2 AB = AC + BC − 2⋅AC ⋅BC cosγ √ -- √ 7- 36 = b2 + 4 8− 2 ⋅b ⋅4 3 ⋅---- √ --- 4 0 = b2 − 2 21b+ 12 / : 2 √ --- 0 = 1b2 − 21b + 6. 2](https://img.zadania.info/zad/2815004/HzadR26x.png)
Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe
![Δ = 21−--12 = 9 --- b = √ 21+ 3 lub b = √ 21 − 3.](https://img.zadania.info/zad/2815004/HzadR27x.png)
Zauważmy teraz, ze
![√ --- √ -- 21 + 3 ≈ 7,58 > 6,93 ≈ 4 3,](https://img.zadania.info/zad/2815004/HzadR28x.png)
więc pierwsze rozwiązanie jest sprzeczne z założeniem, że najdłuższym bokiem trójkąta jest bok
. Zatem
.
Odpowiedź: