Zadanie nr 2826507
Udowodnij, że w czworokącie wpisanym w okrąg suma iloczynów długości przeciwległych boków jest równa iloczynowi długości przekątnych (twierdzenie Ptolemeusza).
Rozwiązanie
Zaczynamy od szkicowego rysunku.
Niech będzie takim punktem przekątnej
, że
oraz oznaczmy
,
,
.
Zauważmy najpierw, że trójkąty i
mają równe kąty (bo
), więc są podobne. Mamy zatem
![AD BE ---- = ---- ⇒ bd = en. AC BC](https://img.zadania.info/zad/2826507/HzadR10x.gif)
Podobnie, trójkąty i
mają równe kąty (
,
), więc są podobne. Mamy stąd
![DC AC ---- = ---- ⇒ ac = em . DE AB](https://img.zadania.info/zad/2826507/HzadR15x.gif)
Dodajemy teraz dwie otrzymane równości stronami
![ac+ bd = em + en = e(m + n) = ef .](https://img.zadania.info/zad/2826507/HzadR16x.gif)