Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Strona główna

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia

Ciąg geometryczny

Deﬁnicja Ciąg $(an )$ nazywamy geometrycznym jeżeli iloraz każdych dwóch jego kolejnych wyrazów jest stały (nie zależy od $n$ ). W języku wzorów piszemy, że istnieje liczba $q ⁄= 0$ , dla której

a = qa , dla n ≥ 1. n+1 n

Liczbę $q$ nazywamy ilorazem ciągu $(a ) n$ .

Ciąg stały

(a,a,a,a,...)

jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $q = 1$ .

Ciąg naprzemienny

(a,−a ,a,−a ,...)

jest ciągiem geometrycznym o ilorazie $q = − 1$ .

Ciągi

(1,2,4,8,16,32 ,...) (1,3,9,27,81,2 43,...) ( 1 1 1 1 1 ) 1,-, -,--,--,---,... ( 2 4 8 16 3 2 ) 1- 1- -1- 1-- -1-- 1,− 3, 9,− 27 ,81,− 24 3,... .

kolejnych potęg $1 1 2,3,2,− 3$ są ciągami geometrycznymi o ilorazach odpowiednio $2 ,3 , 12,− 13$ .

Ciągi skończone

(8,1∘2,18-,27) (4, log 16,log 2) (tgα ,− 1,ctg α).

są geometryczne (z ilorazmi $√ ---- 3,--log2,− -1- 2 2 tgα$ odpowiednio).

Ciągi

(1,2,3 ,4 ,5,...) (1,4,9 ,1 6,25,...) (2,4,− 8,1 6,32,− 64,128,2 56,− 512,...)

nie są geometryczne, bo iloraz kolejnych wyrazów zależy od tego, które wyrazy przez siebie dzielimy (nie jest stały).

Dlaczego geometryczny? Dlaczego ciąg o stałych ilorazach kolejnych wyrazów nazywamy ciągiem geometrycznym? Powodem jest bardzo użyteczna charakteryzacja takiego ciągu:

Ciąg o wyrazach dodatnich jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz, z wyjątkiem pierwszego (i ostatniego jeżeli ciąg jest skończony) jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich.

W języku wzorów piszemy

an = √a----a----, dla n ≥ 2. n−1 n+ 1

Wykluczenie z powyższego warunku wyrazów pierwszego i ostatniego powinno być oczywiste – każdy z tych wyrazów ma tylko jednego sąsiada.

Ciąg $(4 ,9,16)$ nie jest geometryczny bo

√ ------ 4⋅ 16 = 8 ⁄= 9 .

Aby sprawdzić, czy ciąg $(8,12,18,27 )$ jest geometryczny wystarczy sprawdzić prawdziwość dwóch równości

√ ------ √ ---- 8⋅18 = 144 = 1 2 √ ------- √ ---- 12⋅2 7 = 324 = 18.

Wzory Z deﬁnicji ciągu geometrycznego

an+1 = qan, dla n ≥ 1.

widać, że każdy kolejny wyraz powstaje z poprzedniego przez pomnożenie przez liczbę $q$ . To oznacza, że cały ciąg jest wyznaczony przez swój pierwszy wyraz $a1$ i iloraz $q$ . Można to nawet powiedzieć dokładniej: $n$ -ty wyraz powstaje z pierwszego przez mnożenie $n − 1$ razy przez iloraz $q$ (bo drugi powstaje przez mnożenie przez $q$ , trzeci przez mnożenie przez $q 2$ itd.). Daje to nam wzór na $n$ -ty wyraz ciągu geometrycznego.

n− 1 an = a1q .

Ile jest równy $1 4$ wyraz ciągu geometrycznego

1 5 45 135 305 5,− ---,---,− ---, ---,... 2 4 8 16

Gdy się przyjrzymy to powinno być widać, że mamy do czynienia z ciągiem geometrycznym o ilorazie $3 q = − 2$ . Zatem

( ) 13 13 a14 = a1q13 = 5 ⋅ − 3- = − 5 ⋅ 3-. 2 213

Obliczmy iloraz ciągu geometrycznego $(an)$ , w którym $a129 = − 5$ i $a126 = 40$ .
Ze wzoru na $n$ -ty wyraz ciągu geometrycznego mamy

− 5 = a = a q128 129 1 40 = a 126 = a 1q 125

Dzieląc pierwszą równość przez drugą mamy

− 5 1 a q128 1 ----= − --= -1---- = q3 ⇒ q = − -. 40 8 a1q125 2

Jest jeszcze jeden wzór do zapamiętania, mianowicie wzór na sumę $n$ początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym $q ⁄= 1$ .

1−--qn- Sn = a1 + a2 + ⋅⋅⋅+ an = a1 ⋅ 1 − q .

Obliczmy sumę 100 początkowych wyrazów ciągu $( )n −1 an = − 1 3$ .
Ciąg $(an)$ jest ciągiem geometrycznym z $a 1 = 1$ i $1 q = − 3$ , zatem

( ) 100 1− − 1 1− -1- S100 = -----(-3-)---= ----3100-= 3-− ---1--. 1− − 1 43 4 4 ⋅399 3

Uzasadnijmy, że każdy wyraz ciągu $n− 1 an = 2$ jest o 1 większy od sumy wszystkich poprzednich wyrazów.
Ciąg $an$ jest ciągiem geometrycznym z $a1 = 1$ i $q = 2$ . Zatem

1−--2n−1- n−1 Sn− 1 = 1− 2 = 2 − 1 = an − 1 .

Monotoniczność Dość oczywista własność, ale wyraźnie to napiszemy, bo czasem pojawia się w sformułowaniach zadań. Niech $(an)$ będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie $q ⁄= 0$ . Wtedy

ciąg $(an )$ jest rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy $a1 > 0$ i $q > 1$ , lub $a1 < 0$ i $0 < q < 1$ ;
ciąg $(an )$ jest malejący wtedy i tylko wtedy, gdy $a1 > 0$ i $0 < q < 1$ , lub $a < 0 1$ i $q > 1$ ;
ciąg $(an )$ jest stały wtedy i tylko wtedy, gdy $a1 = 0$ lub $q = 1$ ;
nie jest monotoniczny w pozostałych przypadkach.

Pierwszy z ciągów geometrycznych

( ) − 1-,− 1,− 1-,... 2 4 8 ( 1 1 1 ) --,-,---,... 3 9 2 7

jest rosnący, a drugi malejący.

Ciąg geometryczny

( ) 1-,− 1, 1-,− 1-,... 2 4 8 16

nie jest monotoniczny.

Powyżej wyświetlona jest tylko pierwsza część poradnika. Druga część jest dostępna tylko dla użytkowników z wykupionym abonamentem.

Zaloguj się

Informacje o abonamencie

Nie chcesz się rejestrować ani opłacać abonamentu? Zapłać przelewem 6,90 zł lub telefonicznie 8,90 zł, a otrzymasz dwudziestominutowy dostęp do wszystkich materiałów dostępnych w portalu.

Legalni bukmacherzy