Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Strona główna

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia

Nierówności kwadratowe

Nierówność kwadratowa to nierówność postaci

ax2 + bx + c > 0, (lub < 0,≥ 0,≤ 0).

Przypomnijmy, że wykresem lewej strony takiej nierówności jest parabola, której ramiona są skierowane do góry dla $a > 0$ i w dół dla $a < 0$ . Ponadto

parabola nie przecina osi $Ox$ jeżeli $Δ < 0$ ;
przecina oś $Ox$ w jednym punkcie jeżeli $Δ = 0$ ;
przecina oś $Ox$ w dwóch punktach jeżeli $Δ > 0$ .

Patrząc na powyższe rysunki, bez trudu ustalamy znak wyrażenia $ax2 + bx+ c$ .

Jeżeli $Δ < 0$ to wyrażenie $2 ax + bx + c$ jest stale dodatnie dla $a > 0$ i ujemne dla $a < 0$ .
Jeżeli $Δ = 0$ to wyrażenie $b ax 2 + bx + c = a(x + 2a)2$ jest równe 0 dla $x0 = − b- 2a$ i jest dodatnie dla $a > 0$ (ujemne dla $a < 0$ ) na zbiorze $-b R ∖ {− 2a}$ .
Jeżeli $Δ > 0$ i $x 1 > x2$ są pierwiastkami, to wyrażenie $ax2 + bx + c = a(x − x 1)(x− x2)$ jest dodatnie dla $a > 0$ (ujemne dla $a < 0$ ) na zbiorze $(− ∞ ,x )∪ (x ,+ ∞ ), 1 2$
oraz ujemne dla $a > 0$ (dodatnie dla $a < 0$ ) na zbiorze $(x 1,x2)$ .

Nierówność

2 9x − 5x + 2 > 0

jest zawsze spełniona, gdyż $Δ = 25 − 72 < 0$ .

Jak to zapamiętać? Na pierwszy rzut oka można czuć się zagubionym w tych wszystkich przypadkach, ale grunt to nie uczyć się tego na pamięć, tylko wypracować system. Przede wszystkim, zawsze możemy nierówność sprowadzić do postaci z dodatnim współczynnikiem przy $2 x$ – można to łatwo zrobić mnożąc nierówność przez -1. Przy takim założeniu sprawa zaczyna być prosta.

Funkcja kwadratowa jest ujemna między pierwiastkami i dodatnia na zewnątrz od pierwiastków.

W zasadzie to jest wszystko co trzeba pamiętać. Przypadki $Δ < 0$ i $Δ = 0$ też podpadają pod tę formułkę – dla $Δ < 0$ nie ma pierwiastków i funkcja jest cały czas dodatnia, a dla $Δ = 0$ funkcja jest dodatnia na zewnątrz od jedynego pierwiastka.

Spróbujmy rozwiązać nierówność

x− x2 + 2 ≥ 0 / ⋅ (−1 ) 2 x − x− 2 ≤ 0 Δ = 1 + 8 = 9 ⇒ x1 = − 1, x2 = 2 x ∈ ⟨− 1,2⟩.

Rozwiążmy nierówność

2 4x − 12x + 9 > 0 3- Δ = 144 − 144 = 0 ⇒ x0 = 2 { } x ∈ R ∖ 3- . 2

Powyżej wyświetlona jest tylko pierwsza część poradnika. Druga część jest dostępna tylko dla użytkowników z wykupionym abonamentem.

Zaloguj się

Informacje o abonamencie

Nie chcesz się rejestrować ani opłacać abonamentu? Zapłać przelewem 6,90 zł lub telefonicznie 8,90 zł, a otrzymasz dwudziestominutowy dostęp do wszystkich materiałów dostępnych w portalu.

Legalni bukmacherzy