Nierówność kwadratowa to nierówność postaci
Przypomnijmy, że wykresem lewej strony takiej nierówności jest parabola, której ramiona są skierowane do góry dla i w dół dla
. Ponadto
Patrząc na powyższe rysunki, bez trudu ustalamy znak wyrażenia .
oraz ujemne dla (dodatnie dla
) na zbiorze
.
Nierówność
jest zawsze spełniona, gdyż .
Jak to zapamiętać? Na pierwszy rzut oka można czuć się zagubionym w tych wszystkich przypadkach, ale grunt to nie uczyć się tego na pamięć, tylko wypracować system. Przede wszystkim, zawsze możemy nierówność sprowadzić do postaci z dodatnim współczynnikiem przy – można to łatwo zrobić mnożąc nierówność przez -1. Przy takim założeniu sprawa zaczyna być prosta.
Funkcja kwadratowa jest ujemna między pierwiastkami i dodatnia na zewnątrz od pierwiastków.
W zasadzie to jest wszystko co trzeba pamiętać. Przypadki i
też podpadają pod tę formułkę – dla
nie ma pierwiastków i funkcja jest cały czas dodatnia, a dla
funkcja jest dodatnia na zewnątrz od jedynego pierwiastka.
Spróbujmy rozwiązać nierówność
Rozwiążmy nierówność