Podstawy trapezu ABCD mają długości AB=a i CD=b. Oblicz długość... Zadania.info: rozwiązanie zadania, Dane podstawy, 3289877

Strona główna

Forum

Generator arkuszy

Kreator zestawów

Baza sprawdzianów

Plakaty matematyczne

Zadania

Dowolny

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

Zaloguj się

Informacje

Zadania

Losowe zadanie

Linki sponsorowane

/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Czworokąt/Trapez/Dowolny/Dane podstawy

Zadanie nr 3289877

Podstawy trapezu $ABCD$ mają długości $AB = a$ i $CD = b$ . Oblicz długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.

Rozwiązanie

Sposób I

Dorysowujemy odcinek $CE$ równoległy do $AD$ .

Odcinek $CE$ podzielił odcinek $KL$ na dwie części, przy czym $KM = b$ , a odcinek $ML$ łączy środki boków w trójkącie $EBC$ . Zatem

ML = 1EB = a−-b-. 2 2

Stąd

KL = KM + ML = b+ a−--b-= a-+-b-. 2 2

Sposób II

Niech $′ D$ i $′ C$ będą rzutami punktów $D$ i $C$ na prostą $KL$ , a $′ K$ i $′ L$ niech będą rzutami punktów $K$ i $L$ na prostą $AB$ . Trójkąty $′ AK K$ i $′ KD D$ są przystające, zatem $AK ′ = KD ′ = x$ . Analogicznie z przystawania trójkątów $CC ′L$ i $LL ′B$ mamy $C ′L = L′B = y$ . Mamy zatem

{ AB = KL + x + y CD = KL − x − y.

Dodając te dwie równości stronami mamy

AB + CD = 2KL ⇒ KL = a+--b. 2

Sposób III

Dorysujmy drugą kopię trapezu odbijając wyjściowy trapez w symetrii względem środka ramienia $BC$ .

Otrzymamy w ten sposób równoległobok o podstawie $AD 1 = a+ b$ , w którym odcinek $KK 1$ łączy środki ramion $AD$ i $A 1D 1$ . Odcinek ten jest dwa razy dłuższy od interesującego nas odcinka $KL$ . Zatem

1 1 KL = 2-KK 1 = 2-(a+ b ).

Sposób IV

Zauważmy, że

( { −D→C = −D→K + −K→L + −L→C −→ −→ −→ − → ( AB = AK + KL + LB .

Dodając te dwie równości stronami mamy

−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ AB + DC = (DK + AK ) + 2KL + (LC + LB ) = 2KL

Ponieważ wektory $−→ AB$ i $−→ DC$ są równoległe i mają ten sam zwrot powyższa równość oznacza, że

KL = a-+-b-. 2

Sposób V

Jeżeli trapez jest równoległobokiem, to zadanie jest banalne, więc przyjmijmy, że ramiona trapezu przecinają się w punkcie $E$ oraz oznaczmy $DE = x$ , $AK = KD = y$ .