Zadanie nr 3289877

Podstawy trapezu ABCD mają długości AB = a i CD = b . Oblicz długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.

Rozwiązanie

Sposób I

Dorysowujemy odcinek równoległy do .

Odcinek podzielił odcinek na dwie części, przy czym KM = b , a odcinek łączy środki boków w trójkącie EBC . Zatem

ML = 1EB = a−-b-. 2 2

Stąd

KL = KM + ML = b+ a−--b-= a-+-b-. 2 2

Sposób II

Niech ′ D i ′ C będą rzutami punktów i na prostą , a ′ K i ′ L niech będą rzutami punktów i na prostą . Trójkąty ′ AK K i ′ KD D są przystające, zatem AK ′ = KD ′ = x . Analogicznie z przystawania trójkątów CC ′L i LL ′B mamy C ′L = L′B = y . Mamy zatem

{ AB = KL + x + y CD = KL − x − y.

Dodając te dwie równości stronami mamy

AB + CD = 2KL ⇒ KL = a+--b. 2

Sposób III

Dorysujmy drugą kopię trapezu odbijając wyjściowy trapez w symetrii względem środka ramienia .

Otrzymamy w ten sposób równoległobok o podstawie AD 1 = a+ b , w którym odcinek KK 1 łączy środki ramion i A 1D 1 . Odcinek ten jest dwa razy dłuższy od interesującego nas odcinka . Zatem

1 1 KL = 2-KK 1 = 2-(a+ b ).

Sposób IV

Zauważmy, że

( { −D→C = −D→K + −K→L + −L→C −→ −→ −→ − → ( AB = AK + KL + LB .

Dodając te dwie równości stronami mamy

−→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ −→ AB + DC = (DK + AK ) + 2KL + (LC + LB ) = 2KL

Ponieważ wektory −→ AB i −→ DC są równoległe i mają ten sam zwrot powyższa równość oznacza, że

KL = a-+-b-. 2

Sposób V

Jeżeli trapez jest równoległobokiem, to zadanie jest banalne, więc przyjmijmy, że ramiona trapezu przecinają się w punkcie oraz oznaczmy DE = x , AK = KD = y .