Zadanie nr 3289877
Podstawy trapezu mają długości
i
. Oblicz długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.
Rozwiązanie
Sposób I
Dorysowujemy odcinek równoległy do
.

Odcinek podzielił odcinek
na dwie części, przy czym
, a odcinek
łączy środki boków w trójkącie
. Zatem

Stąd

Sposób II
Niech i
będą rzutami punktów
i
na prostą
, a
i
niech będą rzutami punktów
i
na prostą
. Trójkąty
i
są przystające, zatem
. Analogicznie z przystawania trójkątów
i
mamy
. Mamy zatem

Dodając te dwie równości stronami mamy

Sposób III
Dorysujmy drugą kopię trapezu odbijając wyjściowy trapez w symetrii względem środka ramienia .

Otrzymamy w ten sposób równoległobok o podstawie , w którym odcinek
łączy środki ramion
i
. Odcinek ten jest dwa razy dłuższy od interesującego nas odcinka
. Zatem

Sposób IV
Zauważmy, że

Dodając te dwie równości stronami mamy

Ponieważ wektory i
są równoległe i mają ten sam zwrot powyższa równość oznacza, że

Sposób V
Jeżeli trapez jest równoległobokiem, to zadanie jest banalne, więc przyjmijmy, że ramiona trapezu przecinają się w punkcie oraz oznaczmy
,
.

Z podobieństw trójkątów i
mamy

Podstawiając teraz z drugiej równości do pierwszej mamy

Odpowiedź: