Wielomiany

Deﬁnicje Wielomianem nazywamy wyrażenie (funkcję) postaci

W (x) = a xn + a xn−1 + a xn−2 + ⋅⋅⋅+ a x2 + a x + a . n n− 1 n− 2 2 1 0

Jeżeli an ⁄= 0 to mówimy, że W (x) jest wielomianem stopnia . Stopień wielomianu zwykle oznacza się jednym z symboli (od ang. degree)

st W (x) = deg W (x) = n.

W myśl powyższej deﬁnicji funkcje kwadratowe towielomiany stopnia 2, funkcje liniowe to wielomiany stopnia 1, niezerowe funkcje stałe to wielomiany stopnia 0.

Zwyczajowowielomiany liniowe ax + b nazywamy dwumianami (mają dwa składniki), a wielomiany kwadratowe 2 ax + bx + c trójmianami. Nie należy tej terminologii traktować zbyt dosłownie, np. wielomian x2 + 3 nadal uważamy za trójmian, chociaż ma tylko dwa składniki.

Liczby an,an− 1,...,a 1,a 0 nazywamy współczynnikami wielomianu W (x) . Współczynnik zwykle nazywa się wyrazem wolnym wielomianu W (x ) (jest wolny od zmiennej).

Mówimy, że dwa wielomiany są równe jeżeli mają identyczne współczynniki. Tak się szczęśliwie składa, że równość dwóch wielomianów (czyli równość ich współczynników) to dokładnie to samo co równość wyznaczonych przez nie funkcji. Z własności tej często korzysta się w zadaniach szkolnych.

Wyznaczmy wartości parametrów i , dla których równanie

3 3 3 2x = (x− a) + (x+ b)

jest spełnione przez każdą liczbę rzeczywistą.
Korzystając ze wzorów skróconego mnożenia możemy przekształcić równanie do postaci:

2x3 = x3 − 3x 2a+ 3xa2 − a3 + x3 + 3x2b + 3xb2 + b3 3 2 2 2 3 3 = 2x − 3 (a− b )x + 3(a + b )x− (a − b ).

Skoro te dwa wielomiany mają być równe, to muszą mieć równe współczynniki. W szczególności a 2 + b2 = 0 , czyli a = b = 0 .

Wykresy Znajomość kształtów wykresów wielomianów jest niezbędna do sprawnego rozwiązywania zadań, dlatego warto poświęcić chwilę na ich naukę. Jest kilka prostych zasad, które pozwalają niemal automatycznie naszkicować wykres wielomianu.

O wartościach wielomianu w + ∞ i − ∞ (czyli jak się zachowuje wykres gdy jedziemy z do ± ∞ ) decyduje tylko i wyłącznie składnik anxn , a więc praktycznie (tak jest, bo dla bardzo dużych/bardzo małych liczb, wartość jest o wiele większa/mniejsza niż wartości pozostałych składników).

Jakie są zatem możliwe konﬁguracje? Jeżeli x → + ∞ , to wyrażenie n x też dąży do nieskończoności, a więc zachowanie anxn zależy tylko od znaku : jeżeli an > 0 to anxn → + ∞ , a jeżeli an < 0 to anxn → − ∞ .

Odrobinę ciekawsza jest sytuacja w − ∞ , bo wartość wyrażenia może być dodatnia gdy jest parzyste i ujemna, gdy jest nieparzyste. Do tego dochodzi znak : jeżeli jest ujemny, to wyrażenia n x i n anx mają przeciwne znaki. W sumie mamy 4 możliwości, które są szkicowo przedstawione na poniższym rysunku.

Jak to zapamiętać? Przede wszystkim trzeba pamiętać, że patrzymy tylko na wyraz z najwyższą potęgą . A potem wystarczy już trochę zdrowego rozsądku: myślimy sobie jaka jest wartość wyrażenia anxn , gdy wstawiamy do niego bardzo duże liczby, i gdy wstawiamy bardzo małe (ujemne!) liczby. Jeżeli nauczymy się tak myśleć, to od razu będziemy wiedzieli, gdzie są końce interesującego nas wykresu.

Inny sposób, to nauczyć się, że dla an > 0 wykres zawsze zaczyna się w prawym górnym rogu, a z lewej strony wychodzi górnym rogiem, jeżeli jest parzyste i dolnym jeżeli jest nieparzyste. Wykresy dla an < 0 otrzymujemy odbijając wykresy z an > 0 względem osi .

No to wiemy gdzie są końce wykresu, a co jest w środku? Tu już nie ma tak prostej odpowiedzi, ale jedna prosta reguła, to że górek/dołków jest w sumie co najwyżej n − 1 (na ogół jest dokładnie n− 1 , ale może być mniej). Oczywiście na przemian mamy górki i dołki. W większości zastosowań taka ogólna wiedza o kształcie wykresu jest w zupełności wystarczająca.

Na lewym wykresie mamy typowy wykres wielomianu stopnia 3 z dodatnim współczynnikiem przy x 3 : biegnie on od lewego dolnego rogu do prawego górnego, po drodze jest jedna górka i jeden dołek (w sumie n − 1 = 2 ).
Prawy wykres pokazuje, że może się zdarzyć, że dołków/górek jest mniej (jest to wykres 3 y = x + x ).

Rozwiążmy nierówność: ( ) ( ) − (x + 4)(x + 2) x + 12 x x − 12 ≤ 0 .
Szkicujemy sobie wykres: jest to wielomian stopnia 5 z ujemnym współczynnikiem przy 5 x , zatem zaczyna się w lewym górnym rogu i biegnie do prawego dolnego. Po drodze musi przecinać oś w punktach − 4,− 2,− 12,0, 12 .
Z wykresu łatwo odczytać, że rozwiązaniem nierówności jest zbiór 1 1 ⟨− 4,− 2⟩ ∪ ⟨− 2,0⟩∪ ⟨ 2,+ ∞ ) . Podkreślmy jeszcze, że to co naszkicowaliśmy nie jest wykresem lewej strony nierówności – jest to jedynie szkic przebiegu tego wykresu. Do rozwiązania nierówności nic nam jednak więcej nie potrzeba.

Działania na wielomianach Proste działania na wielomianach są dość oczywiste: dodajemy je i odejmujemy grupując współczynniki przy jednakowych potęgach . Mnożąc wielomiany wymnażamy nawiasy metodą każdy z każdym. Oczywiście możemy przy tym stosować wzory skróconego mnożenia.

Uzasadnijmy, że dla dowolnej liczby całkowitej liczba (1 + x)3 − (x − 2)3 jest podzielna przez 3.
Liczymy (korzystamy ze wzoru na różnicę sześcianów).

2 2 ((1 + x) − (x − 2))((1 + x) − (1 + x)(x − 2) + (x − 2) ) = 3((1 + x)2 − (1 + x)(x − 2) + (x − 2)2).

Oczywiście liczba ta dzieli się przez 3.

Jaki jest współczynnik przy xn− 1 wielomianu (x − 1)(x − 2 )(x− 3)⋅⋅⋅(x − n ) ?
W jaki sposób możemy otrzymać xn −1 wymnażając podane nawiasy? Jedyny sposób to z jednego z nawiasów wybrać liczbę, a z pozostałych (bo -ów ma być n − 1 ). W zależności od nawiasu, z którego wybierzemy liczbę otrzymamy składniki

−xn −1 − 2xn− 1+ ⋅⋅ ⋅− nxn− 1 = −xn − 1(1+ 2 + ⋅⋅⋅+ n ) = − n(n-+--1)xn− 1. 2

Warto zapamiętać, że przy mnożeniu wielomianów stopnie wielomianów dodają się, co możemy symbolicznie zapisać wzorem

deg (P(x)Q (x)) = deg P(x) + d egQ (x).

Wyznaczmy wielomian P(x) , tak aby spełniona była równość

2x3 − 5x2 + 7x + 5 = (x2 − 3x+ 5)P(x ).

Skoro iloczyn składników z prawej strony ma mieć stopień 3, a jeden z nich ma stopień dwa, to drugi musi być stopnia 1. Szukamy zatem wielomianu postaci P (x) = ax + b . Wymnażamy teraz prawą stronę.

2x 3 − 5x 2 + 7x + 5 = (x2 − 3x + 5 )(ax + b) = ax 3 + (b − 3a)x 2 + (5a − 3b )x+ 5b.

Porównując współczynniki po obu stronach równości otrzymujemy od razu a = 2 i b = 1 , czyli P(x) = 2x+ 1 .

Inną bardzo użyteczną operacją jest dzielenie wielomianów, czemu poświęcony jest osobny poradnik.

Największy internetowy zbiór zadań z matematyki

/Szkoła średnia