Stereometria

Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny, w którym długość krawędzi podstawy jest równa . Kąt między krawędzią boczną i krawędzią podstawy ma miarę . Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez krawędź podstawy i środek przeciwległej jej krawędzi bocznej. Sporządź rysunek ostrosłupa i zaznacz otrzymany przekrój. Oblicz pole tego przekroju.

W ostrosłupie trójkątnym wszystkie krawędzie boczne i dwie krawędzie podstawy mają długość , a kąt nachylenia krawędzi bocznej, przechodzącej przez wierzchołek wspólny równych krawędzi podstawy, do płaszczyzny podstawy ma miarę . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Odległość środka wysokości ostrosłupa prawidłowego trójkątnego od ściany bocznej jest równa . Krawędź boczna tworzy z płaszczyzną podstawy kąt . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.

Trójkąt o bokach 3,5,7 jest podstawą graniastosłupa prostego, w który wpisano kulę. Oblicz objętość tego graniastosłupa.

W graniastosłupie prawidłowym sześciokątnym poprowadzono płaszczyznę, która przechodzi przez dłuższą przekątną dolnej podstawy oraz przez jedną z krawędzi górnej podstawy. Płaszczyzna ta wyznacza przekrój graniastosłupa, który jest trapezem równoramiennym. Wiedząc, że w trapez ten można wpisać okrąg o promieniu 1, oblicz objętość graniastosłupa.

Podstawą ostrosłupa jest prostokąt , w którym , . Wszystkie krawędzie boczne tego ostrosłupa mają długość 1. Wyznacz wartość dowolnej funkcji trygonometrycznej kąta między dwiema sąsiednimi ścianami bocznymi tego ostrosłupa.

Oblicz cosinus kąta jaki tworzą dwie ściany czworościanu foremnego. Podaj przybliżoną miarę tego kąta.

Oto w jaki sposób można uzasadnić, że suma odległości dowolnego punktu wewnątrz trójkąta równobocznego od boków tego trójkąta jest stała, tzn. nie zależy od wyboru tego punktu.

• Łączymy punkt z wierzchołkami trójkąta i zapisujemy równość pól
  
• Korzystamy ze wzoru na pole trójkąta
  
• Wnioskujemy, że , a więc suma ta nie zależy od wyboru punktu .

Postępując w analogiczny sposób wykaż, że suma odległości dowolnego punktu wewnątrz czworościanu foremnego od jego ścian jest stała, to znaczy nie zależy od wyboru punktu .

Rozwinięcie powierzchni bocznej stożka jest wycinkiem kołowym o kącie środkowym . Kąt ten oparty jest na łuku długości . Oblicz objętość stożka.

W kostce mającej kształt sześcianu o boku 1 dm ścięto wszystkie naroża w ten sposób ze wszystkie krawędzie nowopowstałej bryły mają tę samą długość. Obliczyć objętość otrzymanej bryły.

W czworościanie krawędź ma długość 2, a wszystkie pozostałe krawędzie mają długość 4.

• Oblicz odległość krawędzi od krawędzi .
• Wiedząc, że punkt jest równoodległy od wszystkich wierzchołków czworościanu, oblicz długość odcinka .

W sferę o promieniu wpisano ostrosłup prawidłowy trójkątny w ten sposób, że wszystkie wierzchołki ostrosłupa leżą na powierzchni sfery. Wiedząc, że krawędź boczna ostrosłupa ma długość 13, a krawędź podstawy długość , oblicz .

Podstawą ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest kwadrat . Pole trójkąta równoramiennego jest równe 120 oraz . Oblicz pole powierzchni bocznej tego ostrosłupa.

Trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 15 i 20 obraca się wokół przeciwprostokątnej. Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tej bryły.

Na płaskiej powierzchni położono trzy kule , każda o promieniu 2 tak, że kule i są styczne w punkcie , kule i są styczne w punkcie , a kule i są styczne w punkcie . Następnie położono na tych kulach kulę o promieniu 3, która jest styczna do kul odpowiednio w punktach .

• Uzasadnij, że odcinki i są równoległe.
• Oblicz obwód trapezu .

Powierzchnia boczna walca po rozwinięciu jest prostokątem, którego przekątna ma długość 18 cm i tworzy z bokiem odpowiadającym wysokości walca kąt o mierze . Oblicz objętość walca.

W ostrosłup prawidłowy czworokątny wpisano kulę o promieniu . Ściana boczna ostrosłupa nachylona jest do płaszczyzny podstawy pod kątem . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Podstawą ostrosłupa jest romb o boku długości 18cm. Każda ze ścian bocznych tworzy z płaszczyzną podstawy kąt . Pole powierzchni bocznej ostrosłupa jest równe . Oblicz jego objętość.

Wysokość ostrosłupa prawidłowego sześciokątnego jest równa 6 cm i stanowi długości krawędzi podstawy.

1. Oblicz miarę kąta nachylenia ściany bocznej do podstawy.
2. Oblicz objętość ostrosłupa

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym przeciwległe krawędzie boczne są prostopadłe, a wysokość ściany bocznej poprowadzona z wierzchołka ostrosłupa ma długość . Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej ostrosłupa.