Zadanie nr 3934122
W trójkącie dwusieczna kąta
przecina bok
trójkąta w punkcie
. Wykaż, że
![BD-- = AB-. DC AC](https://img.zadania.info/zad/3934122/HzadT4x.png)
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację.
Sposób I
Trójkąty i
mają wspólną wysokość opuszczoną z wierzchołka
, więc stosunek ich pól jest równy stosunkowi ich podstaw. Zatem
![BD PBDA 1ax sin α a ----= ------= 21-------2α = --. DC PADC 2bx sin 2 b](https://img.zadania.info/zad/3934122/HzadR4x.png)
Sposób II
Tak samo jak w poprzednim sposobie zauważamy, że
![BD-- = PBDA-. DC PADC](https://img.zadania.info/zad/3934122/HzadR5x.png)
Teraz zauważmy jeszcze, że punkty dwusiecznej są jednakowo odległe od obu ramion kąta, więc odległości punktu od boków
i
trójkąta są równe – oznaczmy tę odległość przez
. Mamy zatem
![1 BD-- = PBDA-- = -2AB--⋅h = AB-. DC PADC 12AC ⋅h AC](https://img.zadania.info/zad/3934122/HzadR10x.png)
Sposób III
Tym razem skorzystamy z twierdzenia sinusów w trójkątach i
.
![β- -AB-- = -BD-- ⇒ BD = AB--sin-2 sinφ sin β- sin φ 2 AC DC AC sin β2 sin(180∘-−-φ-) = ----β- ⇒ DC = sin-(1-80∘ −-φ). sin 2](https://img.zadania.info/zad/3934122/HzadR13x.png)
Ponieważ mamy stąd
![β AB-sin-2 BD--= --sinφ---= AB--. DC AC-sin-β2 AC sinφ](https://img.zadania.info/zad/3934122/HzadR15x.png)
Sposób IV
Tym razem użyjemy odrobinę więcej geometrii. Niech będzie takim punktem prostej
, że
, a
punktem wspólnym
i dwusiecznej
.
![ZINFO-FIGURE](https://img.zadania.info/zad/3934122/HzadR22x.png)
Trójkąt jest równoramienny, więc jego dwusieczna
jest jednocześnie jego wysokością oraz symetralną boku
. W takim razie proste
i
są prostopadłe oraz
. Jeżeli teraz wybierzemy na dwusiecznej
taki punkt
, że
, to trójkąty
i
mają równe kąty oraz równe odpowiadające sobie przyprostokątne
. Są więc przystające i
. Pozostało teraz skorzystać z podobieństwa trójkątów
i
.
![-AB- = AB--= -BD-- = BD--. AC AB ′ B ′D ′ DC](https://img.zadania.info/zad/3934122/HzadR38x.png)
Równość, którą udowodniliśmy nosi nazwę twierdzenia o dwusiecznej.