Zadanie nr 4385665

Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej i każdej liczby dodatniej takich, że a + b = 1 , prawdziwa jest nierówność

--1---+ --1----≥ 4. 2a+ b a+ 2b 3

Rozwiązanie

Sposób I

Jeżeli a+ b = 1 , to

---1---+ --1----= -a-+-b-+ a-+-b--= 2a + b a+ 2b 2a + b a+ 2b (a + b)(a + 2b )+ (a + b)(2a + b) = ---------(2a+--b)(a+--2b)---------= a-2 +-3ab-+-2b-2 +-2a-2 +-3ab-+-b2 3a-2 +-6ab-+-3b-2 = 2a 2 + 5ab + 2b2 = 2a 2 + 5ab + 2b 2

i wystarczy udowodnić nierówność

3a2 + 6ab + 3b2 4 ----------------≥ -- 2a2 + 5ab + 2b2 3 3(3a2 + 6ab + 3b2) ≥ 4(2a2 + 5ab+ 2b2) 2 2 a − 2ab + b ≥ 0 (a − b)2 ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.

Sposób II

Jeżeli a+ b = 1 , to

---1---+ ---1--- = -----1----- + -----1----- = --1---+ --1---= 2a + b a + 2b a + (a + b) (a + b) + b a + 1 b + 1 b+ 1+ a+ 1 (a + b) + 2 3 = ---------------= ---------------- = ------. (a + 1)(b + 1) ab + (a+ b)+ 1 2+ ab

Wystarczy więc udowodnić nierówność

--3----≥ 4- 2+ ab 3 9 ≥ 8 + 4ab 1 ≥ 4ab .

To ostatnią nierówność możemy uzasadnić na wiele różnych sposobów. Możemy skorzystać z nierówności między średnimi arytmetyczną i geometryczną:

1 a+ b √ --- 2 --= ------≥ ab /() 2 2 1-≥ ab. 4

Inny sposób, to wykorzystanie jedynki z lewej strony tak aby dostać wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:

1 ≥ 4ab (a + b)2 ≥ 4ab a2 − 2ab + b2 ≥ 0 2 (a − b) ≥ 0 .

Jeszcze inny sposób, to podstawienie b = 1− a do tej nierówności.

1 ≥ 4ab 1 ≥ 4a(1 − a) 1− 4a+ 4a2 ≥ 0 2 (1− 2a) ≥ 0.

Sposób III

Zauważmy najpierw, że

---1---+ --1----= (a+-2b-)+-(2a-+-b-)= ----3(a-+-b)---- 2a + b a+ 2b (2a + b)(a + 2b) 2a2 + 5ab + 2b 2 3 = ---------------. 2a2 + 5ab+ 2b2

Wystarczy więc udowodnić nierówność

-------3--------≥ 4- 2a2 + 5ab+ 2b2 3 9 ≥ 8a2 + 20ab + 8b 2.

Podstawiamy teraz w tej nierówności b = 1 − a .

9 ≥ 8a2 + 20a(1 − a) + 8(a − 1)2 0 ≥ − 4a2 + 4a − 1 2 (2a− 1) ≥ 0.

Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.