Zadanie nr 4385665
Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej i każdej liczby dodatniej
takich, że
, prawdziwa jest nierówność
![--1---+ --1----≥ 4. 2a+ b a+ 2b 3](https://img.zadania.info/zad/4385665/HzadT3x.png)
Rozwiązanie
Sposób I
Jeżeli , to
![---1---+ --1----= -a-+-b-+ a-+-b--= 2a + b a+ 2b 2a + b a+ 2b (a + b)(a + 2b )+ (a + b)(2a + b) = ---------(2a+--b)(a+--2b)---------= a-2 +-3ab-+-2b-2 +-2a-2 +-3ab-+-b2 3a-2 +-6ab-+-3b-2 = 2a 2 + 5ab + 2b2 = 2a 2 + 5ab + 2b 2](https://img.zadania.info/zad/4385665/HzadR1x.png)
i wystarczy udowodnić nierówność
![3a2 + 6ab + 3b2 4 ----------------≥ -- 2a2 + 5ab + 2b2 3 3(3a2 + 6ab + 3b2) ≥ 4(2a2 + 5ab+ 2b2) 2 2 a − 2ab + b ≥ 0 (a − b)2 ≥ 0.](https://img.zadania.info/zad/4385665/HzadR2x.png)
Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.
Sposób II
Jeżeli , to
![---1---+ ---1--- = -----1----- + -----1----- = --1---+ --1---= 2a + b a + 2b a + (a + b) (a + b) + b a + 1 b + 1 b+ 1+ a+ 1 (a + b) + 2 3 = ---------------= ---------------- = ------. (a + 1)(b + 1) ab + (a+ b)+ 1 2+ ab](https://img.zadania.info/zad/4385665/HzadR4x.png)
Wystarczy więc udowodnić nierówność
![--3----≥ 4- 2+ ab 3 9 ≥ 8 + 4ab 1 ≥ 4ab .](https://img.zadania.info/zad/4385665/HzadR5x.png)
To ostatnią nierówność możemy uzasadnić na wiele różnych sposobów. Możemy skorzystać z nierówności między średnimi arytmetyczną i geometryczną:
![1 a+ b √ --- 2 --= ------≥ ab /() 2 2 1-≥ ab. 4](https://img.zadania.info/zad/4385665/HzadR6x.png)
Inny sposób, to wykorzystanie jedynki z lewej strony tak aby dostać wzór skróconego mnożenia na kwadrat różnicy:
![1 ≥ 4ab (a + b)2 ≥ 4ab a2 − 2ab + b2 ≥ 0 2 (a − b) ≥ 0 .](https://img.zadania.info/zad/4385665/HzadR7x.png)
Jeszcze inny sposób, to podstawienie do tej nierówności.
![1 ≥ 4ab 1 ≥ 4a(1 − a) 1− 4a+ 4a2 ≥ 0 2 (1− 2a) ≥ 0.](https://img.zadania.info/zad/4385665/HzadR9x.png)
Sposób III
Zauważmy najpierw, że
![---1---+ --1----= (a+-2b-)+-(2a-+-b-)= ----3(a-+-b)---- 2a + b a+ 2b (2a + b)(a + 2b) 2a2 + 5ab + 2b 2 3 = ---------------. 2a2 + 5ab+ 2b2](https://img.zadania.info/zad/4385665/HzadR10x.png)
Wystarczy więc udowodnić nierówność
![-------3--------≥ 4- 2a2 + 5ab+ 2b2 3 9 ≥ 8a2 + 20ab + 8b 2.](https://img.zadania.info/zad/4385665/HzadR11x.png)
Podstawiamy teraz w tej nierówności .
![9 ≥ 8a2 + 20a(1 − a) + 8(a − 1)2 0 ≥ − 4a2 + 4a − 1 2 (2a− 1) ≥ 0.](https://img.zadania.info/zad/4385665/HzadR13x.png)
Otrzymana nierówność jest oczywiście spełniona, a przekształcaliśmy ją w sposób równoważny, więc wyjściowa nierówność też musiała być prawdziwa.