/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2023/Matura próbna/Zadania.info
Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 1 kwietnia 2023 Czas pracy: 180 minut
Dane są liczby oraz
. Wyraź
za pomocą
oraz
.
Informacja do zadań 2.1 i 2.2
Funkcja określona jest wzorem
![||1 ( 11) || f(x ) = ||-(x + 2)2 x − --- || 3 2](https://img.zadania.info/zes/0045787/HzesT6x.gif)
dla każdego . Pochodna funkcji
w punkcie
jest równa 0.
Wyznacz zbiór wszystkich wartości, jakie funkcja przyjmuje na przedziale .
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
ma cztery rozwiązania, których iloczyn jest ujemny.
Dane są dwie urny z kulami. W każdej z urn jest siedem kul. W pierwszej urnie są trzy kule czarne i cztery kule białe, w drugiej urnie są dwie kule czarne i pięć białych. Rzucamy jeden raz symetryczną monetą. Jeżeli wypadnie reszka, to losujemy jedną kulę z pierwszej urny, w przeciwnym przypadku – jedną kulę z drugiej urny. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tym doświadczeniu wylosujemy kulę białą.
Udowodnij, że różnica sześcianów dwóch kolejnych liczb całkowitych nie jest liczbą podzielną przez 5.
Rozwiąż nierówność
![1 1 1 1+ --+ ---+ ---+ ...≤ 2, x x2 x3](https://img.zadania.info/zes/0045787/HzesT13x.gif)
gdzie lewa strona jest sumą zbieżnego szeregu geometrycznego.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
![2 2 3 2 3 m x + (m − 3m )x − 3m = 0](https://img.zadania.info/zes/0045787/HzesT15x.gif)
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste oraz
spełniające warunek
![x31x2-+-x1x-32 15- x1 + x2 ≤ 2 .](https://img.zadania.info/zes/0045787/HzesT18x.gif)
Rozwiąż równanie
![√ -- √ -- 6co sx + 2 3 sin x + --3- + 3 = 0 . tg x](https://img.zadania.info/zes/0045787/HzesT19x.gif)
Dany jest trójkąt równoramienny , w którym
, a punkt
jest środkiem podstawy
. Okrąg o środku
jest styczny do prostej
. Punkt
leży na boku
, punkt
leży na boku
, odcinek
jest styczny do rozważanego okręgu oraz
(zobacz rysunek).
Wykaż, że trójkąt jest równoboczny.
W kartezjańskim układzie współrzędnych punkt
jest wierzchołkiem trójkąta
. Prosta
o równaniu
zawiera dwusieczną kąta
tego trójkąta. Okrąg
o równaniu
jest wpisany w ten trójkąt. Wyznacz współrzędne wierzchołków
i
trójkąta
.
Dany jest graniastosłup prosty , którego podstawą jest trójkąt
o kątach
i
. Przekątne
i
ścian bocznych tworzą kąt o mierze
takiej, że
(zobacz rysunek).
Pole trójkąta jest równe 4, a pole trójkąta
jest równe
. Oblicz wysokość
tego graniastosłupa.
Budżet przeznaczony na ogrodzenie pewnej działki w kształcie trójkąta równoramiennego (
) wynosi 12 000 zł.
Ze względu na warunki terenowe, koszt wykonania 1 metra bieżącego ogrodzenia jest różny dla każdego z boków trójkąta i wynosi odpowiednio: 140 zł dla boku
, 100 zł dla boku
i 360 zł dla boku
. Oblicz jakie powinny być wymiary ogrodzenia, aby odgradzało ono działkę o największym możliwym polu powierzchni. Wymiary podaj z dokładnością do 1 metra.