Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 6 kwietnia 2013 Czas pracy: 180 minut
W kwadracie o boku długości 1 na boku
wybrano punkt
. Na bokach
i
wybrano odpowiednio punkty
i
tak, że
, a dwusieczna tego kąta jest równoległa do boku
. Oblicz długości odcinków
i
, dla których pole trójkąta
jest największe.
W półkolu z końca średnicy poprowadzono cięciwę, która tworzy ze średnicą kąt o mierze . Oblicz w jakim stosunku zostało podzielone pole tego półkola.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których wykres funkcji
nie ma punktów wspólnych z prostą
.
Kąty trójkąta
spełniają zależność
Oblicz wartość wyrażenia .
W czworokącie spełniony jest warunek
. Wykaż, że na czworokącie
można opisać okrąg.
Kolejne cyfry dodatniej liczby trzycyfrowej tworzą ciąg geometryczny. Suma cyfr jedności i dziesiątek jest o jeden większa od cyfry setek. Jeżeli od szukanej liczby odejmiemy liczbę złożoną z tych samych cyfr, lecz napisanych w odwrotnej kolejności to otrzymamy 495. Znajdź tę liczbę.
Wyznacz wszystkie liczby , dla których równanie
ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste
i
takie, że
.
Udowodnij, że jeżeli , to prawdziwa jest nierówność
.
Obrazem trójkąta o wierzchołkach
w jednokładności o środku
i skali
jest trójkąt
. Wyznacz współrzędne wierzchołków trójkąta
.
Ostrosłup prawidłowy trójkątny przecięto płaszczyzną, która przechodzi przez krawędź podstawy długości oraz jest prostopadła do przeciwległej krawędzi bocznej. Płaszczyzna ta jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem
. Oblicz objętość ostrosłupa.
Na ile sposobów można rozmieścić sześć ponumerowanych kul w pięciu ponumerowanych szufladach tak, aby w każdej szufladzie była przynajmniej jedna kula.