/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2024/Matura próbna/Zadania.info
Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis zadania.info poziom rozszerzony 6 kwietnia 2024 Czas pracy: 180 minut
W chwili początkowej masa substancji jest równa 12 gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 21% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej
funkcja
określa masę substancji w gramach po
pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej). Wyznacz wzór funkcji
. Oblicz, przez ile pełnych dób masa tej substancji będzie przekraczać 3 gramy.
Wykaż, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych i
prawdziwa jest nierówność
![∘ -------- ∘ -------- 1-+ -1-⋅ 1-+ 1--− √-1-- ≥ -1-. x xy y xy xy xy](https://img.zadania.info/zes/0056802/HzesT7x.png)
Ciąg jest określony wzorem
![( ( ) ( ) ( ) )− 1 an = (lo g n)− 1 + lo g n −1 + ...+ log n − 1 + log n − 1 , dla n ≥ 2. 2 3 19 20](https://img.zadania.info/zes/0056802/HzesT9x.png)
Oblicz sumę 19 początkowych wyrazów ciągu .
Funkcja jest określona wzorem
dla każdego
. Punkt
należy do wykresu funkcji
. Oblicz
oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji
w punkcie
.
Dany jest trójkąt równoboczny , w którym
. Na boku
tego trójkąta wybrano taki punkt
, że
. Odcinek
przecina wysokość
trójkąta
w punkcie
(zobacz rysunek).
Oblicz długość odcinka .
O zdarzeniach losowych wiadomo, że:
i
. Oblicz prawdopodobieństwo warunkowe
.
Dany jest nieskończony szereg geometryczny
![3x − -6x---+ ---12x---− --24x---+ ... x + 1 (x + 1 )2 (x+ 1)3](https://img.zadania.info/zes/0056802/HzesT34x.png)
Wyznacz wszystkie wartości zmiennej (różnej od
i od 0), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa
.
Rozwiąż równanie
![cos 5x-sin 5x-+ co s2 x-= 1 4 4 4 2](https://img.zadania.info/zes/0056802/HzesT38x.png)
w zbiorze .
Rozwiąż nierówność .
Każda ściana graniastosłupa jest rombem o boku długości i kącie ostrym o mierze
. Oblicz objętość tego graniastosłupa.
Czworokąt wypukły jest wpisany w okrąg o promieniu 9. Kąty
i
są proste (zobacz rysunek). Przekątne
i
tego czworokąta przecinają się w punkcie
tak, że
oraz
.
Oblicz długości boków czworokąta .
Dla dowolnej liczby , prosta
przecina hiperbolę
w punktach
i
. Uzasadnij, że
.
Czworokąt jest wpisany w okrąg o środku
i promieniu
. Przekątna
zawiera się w prostej o równaniu
i tworzy z bokiem
kąt o mierze
. Obie współrzędne punktu
są ujemne, a obie współrzędne punktu
są dodatnie. Przekątne czworokąta
są prostopadłe. Oblicz współrzędne punktu
.