Zadanie nr 5706837
Doświadczenie losowe polega na dziesięciokrotnym rzucie symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tym doświadczeniu losowym orzeł wypadł dokładnie trzy razy z rzędu, jeśli wiadomo, że wypadł dokładnie trzy razy.
Rozwiązanie
Sposób I
Wiemy, że w przeprowadzonych rzutach dokładnie 3 razy wypadł orzeł. Przyjmijmy więc za zdarzenia elementarne wszystkie 10–elementowe ciągi wyników, w których są 3 orły. Jest więc
![( ) 1 0 10-⋅9⋅-8 |Ω | = 3 = 3! = 5 ⋅3⋅ 8](https://img.zadania.info/zad/5706837/HzadR0x.png)
zdarzeń elementarnych.
W zdarzeniach sprzyjających 3 orły umieszczone są obok siebie, więc pierwszy z tych orłów może być umieszczony na miejscach od 1 do 8. Jest więc 8 takich zdarzeń i interesujące nas prawdopodobieństwo jest równe
![8 1 ------- = --. 5 ⋅3 ⋅8 15](https://img.zadania.info/zad/5706837/HzadR1x.png)
Sposób II
Jeżeli oznaczymy przez zdarzenie polegające na otrzymaniu 3 orłów w 10 rzutach, a
zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy 3 orły w trzech kolejnych rzutach, to mamy obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe
![P-(A-∩-B-) P (A |B ) = P(B ) .](https://img.zadania.info/zad/5706837/HzadR4x.png)
Łatwo obliczyć oba te prawdopodobieństwa. Wszystkich możliwych wyników w 10–krotnym rzucie kostką jest
![10 |Ω | = 2 .](https://img.zadania.info/zad/5706837/HzadR5x.png)
Zdarzeń, w których są 3 orły jest
![( ) 10 = 10-⋅9-⋅8 = 5⋅3 ⋅8, 3 3!](https://img.zadania.info/zad/5706837/HzadR6x.png)
a zdarzeń, w których są 3 orły i są obok siebie jest 8:
![(o,o,o,r,r,r,r,r,r,r),(r,o,o,o,r,r,r,r,r,r),(r,r,o,o ,o ,r,r,r,r,r),(r,r,r,o,o,o,r,r,r,r) (r,r,r,r,o,o ,o ,r,r,r),(r,r,r,r,r,o,o,o,r,r),(r,r,r,r,r,r,o,o,o,r),(r,r,r,r,r,r,r,o,o,o)](https://img.zadania.info/zad/5706837/HzadR7x.png)
Mamy stąd
![P (A ∩ B ) -810 8 1 P (A |B) = ---------- = -25⋅3⋅8-= ------- = ---. P(B ) 210- 5 ⋅3⋅ 8 1 5](https://img.zadania.info/zad/5706837/HzadR8x.png)
Odpowiedź: