/Szkoła średnia/Prawdopodobieństwo/Warunkowe i całkowite/Monety

Zadanie nr 5706837

Doświadczenie losowe polega na dziesięciokrotnym rzucie symetryczną monetą. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że w tym doświadczeniu losowym orzeł wypadł dokładnie trzy razy z rzędu, jeśli wiadomo, że wypadł dokładnie trzy razy.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Wiemy, że w przeprowadzonych rzutach dokładnie 3 razy wypadł orzeł. Przyjmijmy więc za zdarzenia elementarne wszystkie 10–elementowe ciągi wyników, w których są 3 orły. Jest więc

 ( ) 1 0 10-⋅9⋅-8 |Ω | = 3 = 3! = 5 ⋅3⋅ 8

zdarzeń elementarnych.

W zdarzeniach sprzyjających 3 orły umieszczone są obok siebie, więc pierwszy z tych orłów może być umieszczony na miejscach od 1 do 8. Jest więc 8 takich zdarzeń i interesujące nas prawdopodobieństwo jest równe

 8 1 ------- = --. 5 ⋅3 ⋅8 15

Sposób II

Jeżeli oznaczymy przez B zdarzenie polegające na otrzymaniu 3 orłów w 10 rzutach, a A zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy 3 orły w trzech kolejnych rzutach, to mamy obliczyć prawdopodobieństwo warunkowe

 P-(A-∩-B-) P (A |B ) = P(B ) .

Łatwo obliczyć oba te prawdopodobieństwa. Wszystkich możliwych wyników w 10–krotnym rzucie kostką jest

 10 |Ω | = 2 .

Zdarzeń, w których są 3 orły jest

( ) 10 = 10-⋅9-⋅8 = 5⋅3 ⋅8, 3 3!

a zdarzeń, w których są 3 orły i są obok siebie jest 8:

(o,o,o,r,r,r,r,r,r,r),(r,o,o,o,r,r,r,r,r,r),(r,r,o,o ,o ,r,r,r,r,r),(r,r,r,o,o,o,r,r,r,r) (r,r,r,r,o,o ,o ,r,r,r),(r,r,r,r,r,o,o,o,r,r),(r,r,r,r,r,r,o,o,o,r),(r,r,r,r,r,r,r,o,o,o)

Mamy stąd

 P (A ∩ B ) -810 8 1 P (A |B) = ---------- = -25⋅3⋅8-= ------- = ---. P(B ) 210- 5 ⋅3⋅ 8 1 5

 
Odpowiedź: -1 15

Wersja PDF
spinner