/Szkoła średnia/Ciągi/Szereg geometryczny/Dana suma

Zadanie nr 5774571

Nieskończony ciąg geometryczny (an) jest określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Suma wszystkich wyrazów ciągu (an ) o numerach nieparzystych jest równa 16, tj.

a + a + a + ...= 16. 1 3 5

Ponadto a + a = 5 ⋅a 1 3 2 2 . Wyznacz wzór ogólny na n–ty wyraz ciągu (an) .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Rozpocznijmy od rozszyfrowania drugiej informacji, bo jak się okaże pozwoli ona łatwo obliczyć iloraz q ciągu (an) .

 a + a = 5-⋅a 1 3 2 2 2 5 2 a1 + a1q = 2-a1q / : ⋅a-- 1 2+ 2q2 = 5q.

Mogliśmy podzielić przez a1 , bo gdyby a 1 = 0 , to wtedy wszystkie wyrazy ciągu (an ) byłyby zerami i byłoby to sprzeczne z podaną informacją o sumie wyrazów o nieparzystych indeksach równej 16. Rozwiązujemy otrzymane równanie kwadratowe.

 2 2q − 5q + 2 = 0 Δ = 25 − 16 = 9 q = 5−--3-= 1- lub q = 5-+-3-= 2. 4 2 4

Popatrzmy teraz na pierwszą z podanych informacji. Zauważmy, że ciąg

 a1 a = a q2 3 1 a5 = a1q4 6 a7 = a1q ...

jest ciągiem geometrycznym o pierwszym wyrazie a1 i ilorazie q 2 . W szczególności eliminuje to przypadek q = 2 , bo wtedy otrzymamy szereg, który nie jest zbieżny. Zatem  1 q = 2 oraz

1 6 = a1 + a3 + a5 + ...= --a1--= --a1--= 4a1- / ⋅ 3 1− q 2 1 − 14 3 4 1 2 = a1.

Stąd

a = a qn− 1 = 12⋅ --1--= --3--. n 1 2n−1 2n− 3

 
Odpowiedź: an = -3n−3- 2

Wersja PDF
spinner