Zadanie nr 9684359

Uzasadnij, że suma skierowanych kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta (niekoniecznie wypukłego) jest równa .
Uzasadnij, że suma nieskierowanych kątów zewnętrznych dowolnego wielokąta wypukłego jest równa .
Wyprowadź wzór na sumę kątów wewnętrznych dowolnego –kąta.

Rozwiązanie

Zanim uzasadnimy podaną równość, musimy przypomnieć jak deﬁniuje się skierowane kąty zewnętrzne.
Powiedzmy że i są kolejnymi bokami wielokąta o wspólnym wierzchołku (kolejnymi przy standardowej orientacji na płaszczyźnie, czyli gdy poruszamy się po brzegu wielokąta przeciwnie niż wskazówki zegara). Kąt zewnętrzny między bokami i jest to kąt skierowany o wierzchołku w i początkowym ramieniu będącym przedłużeniem boku poza , oraz końcowym ramieniu zawierającym .

Powyższa deﬁnicja jest wprawdzie dość niezręczna, ale ma bardzo prostą interpretację geometryczną: kąt zewnętrzny mierzy o jaki kąt obrócił się bok po przejściu przez wierzchołek . Jeżeli kąt wewnętrzny przy wierzchołku jest wypukły, to obracamy się o kąt nieujemny. Jeżeli natomiast kąt ten jest wklęsły, to obracamy się o kąt ujemny (w prawo).
Jeżeli kogoś razi niezręczność powyższej deﬁnicji, to można łatwo ten problem rozwiązać używając wektorów: jeżeli myślimy o kolejnych bokach wielokąta jak o wektorach i , których zwrot jest wyznaczony przez dodatnią orientację brzegu wielokąta, to kąt zewnętrzny w wierzchołku deﬁniujemy jako kąt między wektorami .
No dobrze, możemy teraz uzasadnić podaną równość.
Wiemy już, że kąt zewnętrzny mierzy o ile obraca się bok po przejściu przez wierzchołek.

Zatem jadąc wzdłuż brzegu wielokąta, suma kątów zewnętrznych mierzy o ile bierzący bok jest obrócony względem boku od którego zaczęliśmy (mierzy ze znakami, więc obroty w lewo i w prawo się znoszą). Jaką sumę otrzymamy po powrocie do punktu wyjścia? – bok wróci na swoje miejsce, ale po drodze wykonał on jeden dodatni obrót o . Daje to nam żądaną sumę kątów zewnętrznych: .
Podobnie jak w przypadku deﬁnicji, powyższa argumentacja robi się odrobinę porządniejsza jeżeli używamy wektorów. Jeżeli myślimy o bokach wielokąta jak o wektorach, to jest jasne, że obejściu brzegu wielokąta wyjściowy wektor obróci się o .
Gdyby chcieć zapisać to rozumowanie jeszcze porządniej, to musielibyśmy porządnie zdeﬁniować wielokąt, a tego nie chcemy robić.
Jak już wcześniej zauważyliśmy, w przypadku kąta wypukłego, kąt zewnętrzny jest dodatni i jego miara to dokładnie miara nieskierowanego kąta zewnętrznego. Teza wynika więc z poprzedniego podpunktu.
Gdyby wielokąt był wypukły, to zadanie było by bardzo proste – wystarczy wielokąt podzielić na trójkątów – można to zrobić prowadząc wszystkie przekątne z któregoś wierzchołka.

My chcemy jednak wyprowadzić wzór w sytuacji ogólnej, bez założenia wypukłości. Aby to zrobić, skorzystamy z obliczonej wcześniej sumy kątów zewnętrznych wielokąta.
Zacznijmy od ustalenia jaki jest związek między miarą zorientowanego kąta zewnętrznego, a miarą niezorientowanego kąta wewnętrznego. Jeżeli kąt zewnętrzny ma miarę , to odpowiadający kąt wewnętrzny ma miarę . Jeżeli natomiast kąt zewnętrzny ma miarę , to z rysunku łatwo odczytać, że kąt wewnętrzny będzie miał miarę (przy czym jest teraz ujemne!).
Zatem suma kątów wewnętrznych –kąta to dokładnie

$Sw = n ⋅180∘ − Sz,$

gdzie przez oznaczyliśmy sumę kątów zewnętrznych. Zatem

$Sw = n ⋅180∘ − Sz = n ⋅1 80∘ − 360∘ = (n − 2 )⋅180 ∘.$

Odpowiedź: