/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2023/Matura

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom podstawowy 8 maja 2023 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(1 pkt)

Na osi liczbowej zaznaczono sumę przedziałów.

ZINFO-FIGURE

Zbiór zaznaczony na osi jest zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności
A) |x − 3,5| ≥ 1,5 B) |x − 1,5| ≥ 3,5
C) |x− 3,5| ≤ 1,5 D) |x − 1 ,5 | ≤ 3 ,5

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba ∘ ----- √ -- 3− 2176 ⋅ 32 jest równa
A) ( − 3) 2 B) 3 2 C) 2 3 D) ( 2) − 3

Zadanie 3
(2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 liczba 2 (2n + 1) − 1 jest podzielna przez 8.

Zadanie 4
(1 pkt)

Liczba log9 27 + log93 jest równa
A) 81 B) 9 C) 4 D) 2

Zadanie 5
(1 pkt)

Dla każdej liczby rzeczywistej a wyrażenie (2a − 3)2 − (2a + 3)2 jest równe
A) − 24a B) 0 C) 18 D) 2 16a − 24a

Zadanie 6
(1 pkt)

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

− 2 (x + 3) ≤ 2-−-x- 3

jest przedział
A) (− ∞ ,− 4] B) (− ∞ ,4] C) [− 4,+ ∞ ) D) [4,+ ∞ )

Zadanie 7
(1 pkt)

Jednym z rozwiązań równania -- √ 3 (x2 − 2)(x+ 3) = 0 jest liczba
A) 3 B) 2 C) √ -- 3 D) √ -- 2

Zadanie 8
(1 pkt)

Równanie

2 (x-+-1)(x-−-1-)-= 0 (x − 1)(x + 1 )2

w zbiorze liczb rzeczywistych
A) nie ma rozwiązania.
B) ma dokładnie jedno rozwiązanie − 1 .
C) ma dokładnie jedno rozwiązanie 1.
D) ma dokładnie dwa rozwiązania − 1 oraz 1.

Zadanie 9
(3 pkt)

Rozwiąż równanie 3 2 3x − 2x − 12x + 8 = 0 .

Zadanie 10
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań.

ZINFO-FIGURE

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest
A) { y = −x + 2 y = − 2x + 1 B) { y = x − 2 y = − 2x − 1 C) { y = x− 2 y = 2x + 1 D) { y = −x + 2 y = 2x − 1

Zadanie 11
(2 pkt)

Dany jest prostokąt o bokach długości a i b , gdzie a > b . Obwód tego prostokąta jest równy 30. Jeden z boków prostokąta jest o 5 krótszy od drugiego. Dokończ zdanie. Wybierz dwie właściwe odpowiedzi spośród podanych.
Zależności między długościami boków tego prostokąta zapisano w układzie równań
A) { 2ab = 30 a − b = 5 B) { 2a+ b = 30 a = 5b C) { 2(a + b) = 3 0 b = a − 5

D) { 2a + 2b = 30 b = 5a E) { 2a + 2b = 30 a − b = 5 F) { a+ b = 30 a = b + 5

Informacja do zadań 12.1 – 12.3

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) narysowano wykres funkcji y = f(x ) (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE
Zadanie 12.1
(1 pkt)

Dziedziną funkcji f jest zbiór
A) [− 6,5] B) (− 6,5) C) (− 3,5] D) [− 3,5 ]

Zadanie 12.2
(1 pkt)

Największa wartość funkcji f w przedziale [− 4,1] jest równa
A) 0 B) 1 C) 2 D) 5

Zadanie 12.3
(1 pkt)

Funkcja f jest malejąca w zbiorze
A) [− 6,− 3) B) [− 3,1] C) (1,2] D) [2,5]

Zadanie 13
(1 pkt)

Funkcja liniowa f jest określona wzorem f(x) = ax+ b , gdzie a i b są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji f w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) .

ZINFO-FIGURE

Liczba a oraz liczba b we wzorze funkcji f spełniają warunki:
A) a > 0 i b > 0 B) a > 0 i b < 0 C) a < 0 i b > 0 D) a < 0 i b < 0

Zadanie 14
(1 pkt)

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej f jest liczba (− 5) . Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji f , jest równa 3. Drugim miejscem zerowym funkcji f jest liczba
A) 11 B) 1 C) (− 1) D) (− 13)

Zadanie 15
(1 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem an = 2n ⋅(n + 1 ) dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Wyraz a4 jest równy
A) 64 B) 40 C) 48 D) 80

Zadanie 16
(1 pkt)

Trzywyrazowy ciąg (27 ,9 ,a− 1 ) jest geometryczny. Liczba a jest równa
A) 3 B) 0 C) 4 D) 2

Zadanie 17
(2 pkt)

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł. Oblicz kwotę pierwszej raty.

Zadanie 18
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) zaznaczono kąt α o wierzchołku w punkcie O = (0,0) . Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią Ox , a drugie przechodzi przez punkt P = (− 3,1) (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Tangens kąta α jest równy
A) √-1- 10 B) ( ) − √-3- 10 C) (− 3) 1 D) ( ) − 1 3

Zadanie 19
(1 pkt)

Dla każdego kąta ostrego α wyrażenie 4 2 2 sin α + sin α ⋅co s α jest równe
A) 2 sin α B) 6 2 sin α ⋅cos α
C) sin4 α+ 1 D) sin2 α⋅ (sin α + cos α)⋅(sin α− cosα )

Zadanie 20
(1 pkt)

W rombie o boku długości √ -- 6 2 kąt rozwarty ma miarę 150 ∘ . Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy
A) 24 B) 72 C) 36 D) √ -- 36 2

Zadanie 21
(1 pkt)

Punkty A ,B ,C leżą na okręgu o środku w punkcie O . Kąt ACO ma miarę ∘ 70 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Miara kąta ostrego ABC jest równa
A) 10∘ B) 2 0∘ C) 35∘ D) 40∘

Zadanie 22
(2 pkt)

Trójkąty prostokątne T1 i T2 są podobne. Przyprostokątne trójkąta T1 mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta T 2 ma długość 26. Oblicz pole trójkąta T 2 .

Zadanie 23
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są proste k oraz l o równaniach

2 k : y = --x 3 l : y = − 3-x+ 13 2


Dokończ zdanie. Wybierz odpowiedź A albo B oraz odpowiedź 1., 2. albo 3.
Proste k oraz l

A) są prostopadłeB) nie są prostopadłe

i przecinają się w punkcie P o współrzędnych

1. (− 6,− 4) 2. (6,4) 3. (− 6,4)

Zadanie 24
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dana jest prosta k o równaniu 1 y = − 3x+ 2 . Prosta o równaniu y = ax + b jest równoległa do prostej k i przechodzi przez punkt P = (3,5) , gdy
A) a = 3 i b = 4 B) a = − 1 3 i b = 4 C) a = 3 i b = − 4 D) 1 a = − 3 i b = 6

Zadanie 25
(1 pkt)

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 15. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod α takim, że √2- co sα = 3 . Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa
A) √ -- 15 2 B) 45 C) √ -- 5 2 D) 10

Zadanie 26
(4 pkt)

Dany jest ostrosłup prawidłowy czworokątny. Wysokość ściany bocznej tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30∘ i ma długość równą 6 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz objętość i pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Zadanie 27
(1 pkt)

W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby W wszystkich wierzchołków do liczby K wszystkich krawędzi jest równy W-= 3 K 5 . Podstawą tego ostrosłupa jest
A) kwadrat. B) pięciokąt foremny.
C) sześciokąt foremny. D) siedmiokąt foremny.

Zadanie 28
(1 pkt)

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0, 5, 7, jest
A) 53 B) 2 ⋅43 C) 4 2 ⋅3 D) 5 3

Informacja do zadań 29.1 i 29.2

Na diagramie poniżej przedstawiono ceny pomidorów w szesnastu wybranych sklepach.

ZINFO-FIGURE
Zadanie 29.1
(1 pkt)

Mediana ceny kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest równa
A) 5,80 zł B) 5,73 zł C) 5,85 zł D) 6,00 zł E) 5,70 zł

Zadanie 29.2
(1 pkt)

Średnia cena kilograma pomidorów w tych wybranych sklepach jest równa
A) 5,80 zł B) 5,73 zł C) 5,85 zł D) 6,00 zł E) 5,70 zł

Zadanie 30
(2 pkt)

Ze zbioru ośmiu liczb {2 ,3,4,5,6,7,8,9} losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 15.

Informacja do zadań 31.1 i 31.2

Właściciel pewnej apteki przeanalizował dane dotyczące liczby obsługiwanych klientów z 30 kolejnych dni. Przyjmijmy, że liczbę L obsługiwanych klientów n –tego dnia opisuje funkcja

2 L(n) = −n + 2 2n + 279

gdzie n jest liczbą naturalną spełniającą warunki n ≥ 1 i n ≤ 30 .

Zadanie 31.1
(1 pkt)

Oceń prawdziwość podanych zdań. Wybierz P, jeśli zdanie jest prawdziwe, lub F – jeśli jest fałszywe.

Łączna liczba klientów obsłużonych w czasie wszystkich analizowanych dni jest równa L(3 0) . PF
W trzecim dniu analizowanego okresu obsłużono 336 klientów. PF

Zadanie 31.2
(2 pkt)

Którego dnia analizowanego okresu w aptece obsłużono największą liczbę klientów? Oblicz liczbę klientów obsłużonych tego dnia.

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania