Zadanie nr 8006564
Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech oznacza długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.
-
Wykaż, że pole
trapezu jako funkcja długości
odcinka łączącego środki ramion trapezu jest określone wzorem
-
Wyznacz dziedzinę funkcji
.
-
Oblicz długość
odcinka łączącego środki ramion tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.
Rozwiązanie
Szkicujemy trapez równoramienny.
-
Jeżeli oznaczymy długości podstaw trapezu przez
i
, to jak wiadomo,
Ponadto,
więc
i pole trapezu jest równe
-
Oczywiście
oraz
, czyli
. Dziedziną funkcji
jest więc przedział
.
Odpowiedź: -
Musimy teraz ustalić jaka jest największa możliwa wartość funkcji
Funkcja
jest rosnąca, więc wystarczy zająć się funkcją
Liczymy pochodną
Widać teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale
i ujemna w przedziale
. To oznacza, że funkcja
jest rosnąca w przedziale
i malejąca w przedziale
. Zatem największą możliwą wartość pola trapezu otrzymamy dla
. Pole jest wtedy równe
Odpowiedź:.