Zadanie nr 8006564

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech oznacza długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.

Wykaż, że pole trapezu jako funkcja długości odcinka łączącego środki ramion trapezu jest określone wzorem

$∘ --------- P(x ) = x ⋅ 100 − x 2.$
Wyznacz dziedzinę funkcji .
Oblicz długość odcinka łączącego środki ramion tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Rozwiązanie

Szkicujemy trapez równoramienny.

ZINFO-FIGURE

Jeżeli oznaczymy długości podstaw trapezu przez i , to jak wiadomo,

$a + b x = ------. 2$

Ponadto,

$b − a AE = ------, 2$

więc

$b-−-a- a-+-b- BE = CD + AE = a + 2 = 2 = x$

i pole trapezu jest równe

$a-+-b- ∘ ----------2 ∘ --------2 P(x ) = 2 ⋅h = x ⋅ 1 00− BE = x ⋅ 100 − x .$
Oczywiście oraz , czyli . Dziedziną funkcji jest więc przedział .
Odpowiedź:
Musimy teraz ustalić jaka jest największa możliwa wartość funkcji

$∘ --------- ∘ ----------- y = P(x ) = x 10 0− x2 = 10 0x2 − x4.$

Funkcja jest rosnąca, więc wystarczy zająć się funkcją

$2 4 f(x) = 100x − x .$

Liczymy pochodną

$′ 3 2 √ -- √ -- f (x) = 200x − 4x = − 4x(x − 50 ) = − 4x(x − 5 2)(x + 5 2).$

Widać teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale i ujemna w przedziale . To oznacza, że funkcja jest rosnąca w przedziale i malejąca w przedziale . Zatem największą możliwą wartość pola trapezu otrzymamy dla . Pole jest wtedy równe

$P(5√ 2) = 5 √ 2⋅√ 1-00−--50 = 5√ 2-⋅5√ 2-= 50.$

Odpowiedź: .