/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Zadania na ekstrema/Największe pole

Zadanie nr 8006564

Rozpatrujemy wszystkie trapezy równoramienne, w których każda z przekątnych ma długość 10. Niech x oznacza długość odcinka łączącego środki ramion trapezu.

  • Wykaż, że pole P trapezu jako funkcja długości x odcinka łączącego środki ramion trapezu jest określone wzorem

     ∘ --------- P(x ) = x ⋅ 100 − x 2.
  • Wyznacz dziedzinę funkcji P(x) .

  • Oblicz długość x odcinka łączącego środki ramion tego z rozpatrywanych trapezów, którego pole jest największe. Oblicz to największe pole.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy trapez równoramienny.


ZINFO-FIGURE


  • Jeżeli oznaczymy długości podstaw trapezu przez a i b , to jak wiadomo,

     a + b x = ------. 2

    Ponadto,

     b − a AE = ------, 2

    więc

     b-−-a- a-+-b- BE = CD + AE = a + 2 = 2 = x

    i pole trapezu jest równe

     a-+-b- ∘ ----------2 ∘ --------2 P(x ) = 2 ⋅h = x ⋅ 1 00− BE = x ⋅ 100 − x .
  • Oczywiście x > 0 oraz BE < BD , czyli x < 10 . Dziedziną funkcji P(x ) jest więc przedział (0,10) .  
    Odpowiedź: x ∈ (0,10)

  • Musimy teraz ustalić jaka jest największa możliwa wartość funkcji

     ∘ --------- ∘ ----------- y = P(x ) = x 10 0− x2 = 10 0x2 − x4.

    Funkcja  √ -- y = x jest rosnąca, więc wystarczy zająć się funkcją

     2 4 f(x) = 100x − x .

    Liczymy pochodną

     ′ 3 2 √ -- √ -- f (x) = 200x − 4x = − 4x(x − 50 ) = − 4x(x − 5 2)(x + 5 2).

    Widać teraz, że pochodna jest dodatnia w przedziale  -- (0,5 √ 2) i ujemna w przedziale  √ -- (5 2 ,10) . To oznacza, że funkcja y = f(x) jest rosnąca w przedziale  √ -- (0,5 2] i malejąca w przedziale  √ -- [5 2,10) . Zatem największą możliwą wartość pola trapezu otrzymamy dla  √ -- x = 5 2 . Pole jest wtedy równe

    P(5√ 2) = 5 √ 2⋅√ 1-00−--50 = 5√ 2-⋅5√ 2-= 50.

     
    Odpowiedź:  √ -- Pmax = P(5 2) = 50 .

Wersja PDF
spinner