Zadanie nr 8271275

Olejarnia wytwarza olej ekologiczny. Aby produkcja była opłacalna, dzienna wielkość produkcji musi wynosić co najmniej 480 litrów i nie może przekroczyć 530 litrów (ze względu na ograniczone moce produkcyjne). Przy poziomie produkcji (480+ x) litrów dziennie przeciętny koszt (w złotych) wytworzenia jednego litra oleju jest równy

22x 2 − 62 1,5x + 23430 K(x ) = -----------------------, gdzie x ∈ [0,50] 480+ x

Oblicz, ile litrów oleju dziennie powinna wytworzyć olejarnia, aby przeciętny koszt produkcji jednego litra oleju był najmniejszy (z zachowaniem opłacalności produkcji). Oblicz ten najmniejszy przeciętny koszt.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Musimy zrozumieć przebieg zmienności funkcji

2 2 K (x) = 22x--−--621,5x-+-234-30 = 11 ⋅ 2x-−--56,5x-+-2130- 480 + x 48 0+ x

na danym przedziale – w tym celu liczymy pochodną tej funkcji.

2 ′ 2 ′ K′(x) = 1 1⋅ (2x-−--56,5x-+-213-0)-⋅(480-+-x)-−-(2x--−-56-,5x+--2130)-⋅(480-+-x)--= (480+ x)2 (4x− 56,5)(480 + x )− (2x 2 − 56,5x + 2130 ) = 1 1⋅ --------------------------2------------------= (480 + x) 4x2 + 1863,5x − 2 7120 − (2x2 − 56,5x + 2130) = 1 1⋅ ---------------------------2-------------------= (480 + x) 2x2 +-1920x-−-2-9250- x2 +-960x-−-146-25- = 1 1⋅ (480+ x)2 = 22⋅ (480+ x)2 .

Rozkładamy jeszcze trójmian w liczniku.

2 2 Δ = 960 + 4 ⋅14625 = 980100 = 990 − 960 − 99 0 − 960 + 990 x = ------------ = − 975 lub x = ------------= 15. 2 2

Zatem

(x + 9 75)(x− 15) K′(x) = 22 ⋅-------------2---- (480 + x )

i widzimy, że pochodna jest ujemna w przedziale [0,15) i dodatnia w przedziale (1 5,50] . To oznacza, że funkcja maleje w przedziale [0,15] i rośnie w przedziale [15,50] . W takim razie najmniejszy koszt otrzymamy dla x = 15 . Mamy wtedy