Zadanie nr 8576305
Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa . Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka
. Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.
Rozwiązanie
Zaczynamy od rysunku.
Zauważmy najpierw, że
![BD > AB = BC ,](https://img.zadania.info/zad/8576305/HzadR1x.png)
więc na pewno nie jest najdłuższym bokiem trójkąta równoramiennego
. To oznacza, że
jest kątem ostrym i
![∘ ---------- ∘ ----11- ∘ 25- 5 cos α = 1− sin2 α = 1− ---= ---= -. 36 36 6](https://img.zadania.info/zad/8576305/HzadR5x.png)
Sposób I
Zauważmy, że dość łatwo jest obliczyć długość przekątnej ściany bocznej – piszemy w tym celu twierdzenie cosinusów w trójkącie
.
![2 2 2 BC = BD + CD − 2BD ⋅CD cosα 5 ( 5 ) 1 a2 = 2d 2 − 2d2 ⋅--= 2 − -- d2 = --d2 6 3 3 d2 = 3a 2.](https://img.zadania.info/zad/8576305/HzadR8x.png)
Obliczamy teraz wysokość graniastosłupa.
![∘ ---2-------2 ∘ --2----2- √ -- AD = BD − AB = 3a − a = a 2 .](https://img.zadania.info/zad/8576305/HzadR9x.png)
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest więc równe
![2√ -- √ -- Pc = 2PABC + 3PABED = 2⋅ a---3-+ 3 ⋅a⋅a 2 = ( √ -- ) √ --4 √ -- 3 √ -- ( 3 + 6 2 )a2 = ----+ 3 2 a2 = ---------------. 2 2](https://img.zadania.info/zad/8576305/HzadR10x.png)
Sposób II
Tym razem spróbujemy sobie poradzić bez twierdzenia cosinusów. Zamiast tego, spróbujemy skorzystać z trójkąta prostokątnego . Aby móc to zrobić potrzebny nam jest
. Można go łatwo obliczyć z cosinusa kąta
i wzoru na cosinus podwojonego kąta.
![α cos α = 1 − 2sin2 -- 2 ∘ --- 2 α 5- 1- α- 1-- -1--- 2 sin 2 = 1 − 6 = 6 ⇒ sin 2 = 12 = 2√ 3.](https://img.zadania.info/zad/8576305/HzadR14x.png)
Patrzymy teraz na trójkąt .
![√ -- √ -- BF--= sin α-= -√1-- ⇒ d = DB = 2 3 ⋅ a-= a 3. DB 2 2 3 2](https://img.zadania.info/zad/8576305/HzadR16x.png)
Wysokość graniastosłupa i jego pole powierzchni całkowitej obliczamy tak samo jak w pierwszym sposobie.
Odpowiedź: