/Szkoła średnia/Geometria/Stereometria/Graniastosłup/Prawidłowy trójkątny

Zadanie nr 8576305

Długość krawędzi podstawy graniastosłupa prawidłowego trójkątnego jest równa a . Sinus kąta między przekątnymi ścian bocznych wychodzącymi z jednego wierzchołka √ -- --11- 6 . Wyznacz pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Zaczynamy od rysunku.


ZINFO-FIGURE


Zauważmy najpierw, że

BD > AB = BC ,

więc BC na pewno nie jest najdłuższym bokiem trójkąta równoramiennego BDC . To oznacza, że α = ∡BDC jest kątem ostrym i

 ∘ ---------- ∘ ----11- ∘ 25- 5 cos α = 1− sin2 α = 1− ---= ---= -. 36 36 6

Sposób I

Zauważmy, że dość łatwo jest obliczyć długość d przekątnej ściany bocznej – piszemy w tym celu twierdzenie cosinusów w trójkącie BDC .

 2 2 2 BC = BD + CD − 2BD ⋅CD cosα 5 ( 5 ) 1 a2 = 2d 2 − 2d2 ⋅--= 2 − -- d2 = --d2 6 3 3 d2 = 3a 2.

Obliczamy teraz wysokość graniastosłupa.

 ∘ ---2-------2 ∘ --2----2- √ -- AD = BD − AB = 3a − a = a 2 .

Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa jest więc równe

 2√ -- √ -- Pc = 2PABC + 3PABED = 2⋅ a---3-+ 3 ⋅a⋅a 2 = ( √ -- ) √ --4 √ -- 3 √ -- ( 3 + 6 2 )a2 = ----+ 3 2 a2 = ---------------. 2 2

Sposób II

Tym razem spróbujemy sobie poradzić bez twierdzenia cosinusów. Zamiast tego, spróbujemy skorzystać z trójkąta prostokątnego DBF . Aby móc to zrobić potrzebny nam jest sin α 2 . Można go łatwo obliczyć z cosinusa kąta α i wzoru na cosinus podwojonego kąta.

 α cos α = 1 − 2sin2 -- 2 ∘ --- 2 α 5- 1- α- 1-- -1--- 2 sin 2 = 1 − 6 = 6 ⇒ sin 2 = 12 = 2√ 3.

Patrzymy teraz na trójkąt DBF .

 √ -- √ -- BF--= sin α-= -√1-- ⇒ d = DB = 2 3 ⋅ a-= a 3. DB 2 2 3 2

Wysokość graniastosłupa i jego pole powierzchni całkowitej obliczamy tak samo jak w pierwszym sposobie.  
Odpowiedź: (√ - √ -) (√3+ 6√2)a2 -23+ 3 2 a2 = -----2-----

Wersja PDF
spinner