Zadanie nr 8655540

Liczba ( √ --)3 ( √ -) 3 2 − 4 3 − 2 + 4 3 jest równa
A) √ -- − 128 3 B) √ -- − 384 3 C) √ -- − 1184 3 D) √ -- − 480 3

Rozwiązanie

Sposób I

Skorzystamy ze wzorów na sześcian sumy i sześcian różnicy.

(a+ b )3 = a3 + 3a2b+ 3ab2 + b3 (a− b )3 = a3 − 3a2b+ 3ab2 − b3.

Mamy zatem

( √ -) 3 3 2 √ -- ( √ --)2 ( √ -) 3 2 − 4 3 = 2 − 3⋅2 ⋅4 3 + 3 ⋅2 ⋅ 4 3 − 4 3 = √ -- √ -- √ -- = 8− 48 3 + 288 − 19 2 3 = 296 − 24 0 3 ( √ -) 3 3 2 √ -- ( √ --)2 ( √ -) 3 2 + 4 3 = 2 + 3⋅2 ⋅4 3 + 3 ⋅2 ⋅ 4 3 + 4 3 = √ -- √ -- √ -- = 8+ 48 3 + 288 + 19 2 3 = 296 + 24 0 3

Stąd

( √ --)3 ( √ -) 3 √ -- √ -- √ -- 2 − 4 3 − 2 + 4 3 = (296 − 240 3 )− (296 + 24 0 3) = − 480 3 .

Sposób II

Tym razem skorzystamy ze wzoru na różnicę sześcianów.

3 3 2 2 a − b = (a − b)(a + ab + b ).

Mamy zatem

( √ -) ( √ -) ( √ --) ( √ -) 2− 4 3 3 − 2 + 4 3 3 = 8 1 − 2 3 3 − 8 1+ 2 3 3 = ( ) ( ) √ -- √ -- √ --2 √ -- √ -- √ --2 = 8 (1 − 2 3) − (1 + 2 3) (1 − 2 3) + (1 − 2 3)(1+ 2 3)+ (1+ 2 3) = √ -- ( √ -- √ --) √ -- √ -- = 8 ⋅(− 4 3)⋅ 13 − 4 3 + 1 − 12 + 13 + 4 3 = − 32 3 ⋅15 = − 480 3.

Odpowiedź: D