/Szkoła średnia/Geometria/Planimetria/Trójkąt/Prostokątny/Udowodnij...

Zadanie nr 9178905

Przyprostokątne trójkąta prostokątnego mają długości a i b , a jego przeciwprostokątna ma długość c . Wykaż, że promień okręgu wpisanego w ten trójkąt ma długość r = a+b−c- 2 .

Wersja PDF

Rozwiązanie

Sposób I

Szkicujemy trójkąt.

PIC

Promień r okręgu wpisanego możemy wyliczyć ze wzoru na pole

1 1 -ab = P = --(a+ b+ c)r 2 2

Mamy zatem

ab r = ---------. a + b + c

Pozostaje wykazać, że

ab a+ b− c a-+-b-+-c = ----2----

Przekształcamy w sposób równoważny

2ab = (a + b + c)(a + b − c) 2 2 2ab = (a + b) − c 2 2 2 2ab = a + b + 2ab − c 0 = a2 + b2 − c2.

Otrzymana równość jest oczywiście spełniona (jest to twierdzenie Pitagorasa).

Sposób II

PIC

Jeżeli połączymy środek O okręgu wpisanego w trójkąt prostokątny ABC z jego wierzchołkami, to odcinki te dzielą kąty trójkąta na połowy. Jeżeli dorysujemy jeszcze rzuty punktu O na boki trójkąta, to mamy trzy pary przystających trójkątów prostokątnych. Oznaczając odpowiednio ich boki, widać, że

AB = c = (a− r)+ (b − r) ⇒ 2r = a+ b − c.

Sposób III

Dorysujmy okrąg wpisany i oznaczmy jego punkty styczności z bokami trójkąta przez D ,E ,F . Mamy zatem

r = CD = CB − DB = a − DB = a− F B = a− (AB − y) = = a− c+ AE = a − c+ AC − r = a − c+ b− r 2r = a+ b− c.
Wersja PDF