/Szkoła średnia/Geometria/Geometria analityczna/Parabola

Zadanie nr 9416756

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x ,y) prosta o równaniu 3x + y + 2 = 0 przecina parabolę o równaniu y = x2 − 2x − 8 w punktach A oraz B , które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku ABCD . Wierzchołek A ma pierwszą współrzędną ujemną. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu  1 y = − 2 x+ 1 i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu C od prostej zawierającej bok AB równoległoboku jest równa √ -- 9-10- 5 . Oblicz długość boku BC tego równoległoboku.

Wersja PDF

Rozwiązanie

Szkicujemy opisaną sytuację – nie powinno być problemu z naszkicowaniem danych prostych, a wierzchołkiem paraboli

y = x 2 − 2x − 8 = (x− 1)2 − 1− 8 = (x − 1)2 − 9

jest punkt (1,− 9) .


ZINFO-FIGURE


Rozpocznijmy od wyznaczenia współrzędnych punktów A i B – podstawiamy y = − 3x− 2 do równania paraboli.

− 3x − 2 = x2 − 2x− 8 2 0 = x + x− 6 Δ = 1+ 2 4 = 25 x = −-1−--5 = − 3 lub x = −-1+--5 = 2. 2 2

Wtedy y = − 3x − 2 = 7 i y = − 3x − 2 = − 8 odpowiednio. Zatem A = (− 3,7) i B = (2,− 8) .

Szukamy teraz punktu  ( ) 1 C = x,− 2x + 1 , którego odległość od prostej

AB : 3x+ y+ 2 = 0

jest równa  √-- 9-10- 5 . Musimy więc rozwiązać równanie

 | | 9√ 10- ||3x − 12x + 1+ 2 || √ --- ------= d(C,AB ) = -----√------------ / ⋅ 10 5 | | 9 + 1 |5 | 18 = ||-x + 3|| 2 5- 5- 18 = 2x + 3 lub − 18 = 2x + 3 5 5 15 = -x lub − 21 = -x 2 2 6 = x lub − 42-= x. 5

Wiemy, że punkt C ma pierwszą współrzędną dodatnią, więc x = 6 ,

y = − 1-x + 1 = − 3 + 1 = − 2, 2

i C = (6,− 2) . Pozostało obliczyć długość odcinka BC .

 ∘ --------------------- 2 2 √ -------- √ --- √ --- BC = (6 − 2) + (− 2 + 8) = 16 + 36 = 52 = 2 1 3.

 
Odpowiedź:  √ --- 2 13

Wersja PDF
spinner