Zadanie nr 9416756
W kartezjańskim układzie współrzędnych prosta o równaniu
przecina parabolę o równaniu
w punktach
oraz
, które są kolejnymi wierzchołkami równoległoboku
. Wierzchołek
ma pierwszą współrzędną ujemną. Wierzchołek
leży na prostej o równaniu
i ma pierwszą współrzędną dodatnią. Odległość punktu
od prostej zawierającej bok
równoległoboku jest równa
. Oblicz długość boku
tego równoległoboku.
Rozwiązanie
Szkicujemy opisaną sytuację – nie powinno być problemu z naszkicowaniem danych prostych, a wierzchołkiem paraboli
![y = x 2 − 2x − 8 = (x− 1)2 − 1− 8 = (x − 1)2 − 9](https://img.zadania.info/zad/9416756/HzadR0x.png)
jest punkt .
Rozpocznijmy od wyznaczenia współrzędnych punktów i
– podstawiamy
do równania paraboli.
![− 3x − 2 = x2 − 2x− 8 2 0 = x + x− 6 Δ = 1+ 2 4 = 25 x = −-1−--5 = − 3 lub x = −-1+--5 = 2. 2 2](https://img.zadania.info/zad/9416756/HzadR6x.png)
Wtedy i
odpowiednio. Zatem
i
.
Szukamy teraz punktu , którego odległość od prostej
![AB : 3x+ y+ 2 = 0](https://img.zadania.info/zad/9416756/HzadR12x.png)
jest równa . Musimy więc rozwiązać równanie
![| | 9√ 10- ||3x − 12x + 1+ 2 || √ --- ------= d(C,AB ) = -----√------------ / ⋅ 10 5 | | 9 + 1 |5 | 18 = ||-x + 3|| 2 5- 5- 18 = 2x + 3 lub − 18 = 2x + 3 5 5 15 = -x lub − 21 = -x 2 2 6 = x lub − 42-= x. 5](https://img.zadania.info/zad/9416756/HzadR14x.png)
Wiemy, że punkt ma pierwszą współrzędną dodatnią, więc
,
![y = − 1-x + 1 = − 3 + 1 = − 2, 2](https://img.zadania.info/zad/9416756/HzadR17x.png)
i . Pozostało obliczyć długość odcinka
.
![∘ --------------------- 2 2 √ -------- √ --- √ --- BC = (6 − 2) + (− 2 + 8) = 16 + 36 = 52 = 2 1 3.](https://img.zadania.info/zad/9416756/HzadR20x.png)
Odpowiedź: