Zadanie nr 9701103
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
![(3− m) ⋅x2 + (m + 1)⋅x − (m + 1)2 = 0](https://img.zadania.info/zad/9701103/HzadT1x.png)
ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste spełniające warunek
![x2+ x2= x1 ⋅x2 + 7. 1 2](https://img.zadania.info/zad/9701103/HzadT3x.png)
Rozwiązanie
Jeżeli równanie ma mieć dwa pierwiastki, to musi być kwadratowe, czyli . Ponadto,
![0 < Δ = (m + 1)2 + 4(3− m )(m + 1)2 = (m + 1)2(1 + 4(3 − m )) = ( 13 ) = (m + 1)2(13 − 4m ) = −4 (m + 1)2 m − --- / : (−4 ) ( ) 4 2 13 0 > (m + 1) m − --- ( 4 ) 13- m ∈ (− ∞ ,− 1) ∪ − 1,4 .](https://img.zadania.info/zad/9701103/HzadR1x.png)
W połączeniu z warunkiem , mamy więc
![( ) m ∈ (− ∞ ,−1 )∪ (− 1,3) ∪ 3 , 13 . 4](https://img.zadania.info/zad/9701103/HzadR3x.png)
Korzystamy teraz ze wzorów Viète’a
![{ x1 + x2 = − m3+−m1= mm+−-13 −(m-+1)2 (m+-1)2 x1x 2 = 3−m = m− 3](https://img.zadania.info/zad/9701103/HzadR4x.png)
Musimy rozwiązać równanie.
![2 2 x1 + x2 = x 1x2 + 7 (x + x )2 − 2x x = x x + 7 1 2 1 2 1 2 (x1 + x2)2 − 3x1x2 − 7 = 0.](https://img.zadania.info/zad/9701103/HzadR5x.png)
Podstawiamy teraz wyrażenia ze wzorów Viète’a.
![( ) 2 2 m--+-1 − 3⋅ (m-+-1-)-− 7 = 0 / ⋅(m − 3)2 m − 3 m − 3 (m + 1)2 − 3 (m + 1)2(m − 3)− 7(m − 3)2 = 0 (m + 1)2(1− 3(m − 3)) − 7(m 2 − 6m + 9) = 0 2 2 (m + 2m + 1)(1 0− 3m ) − 7m + 42m − 63 = 0 0 = 3m 3 + 3m 2 − 59m + 53](https://img.zadania.info/zad/9701103/HzadR6x.png)
Szukamy pierwiastków wymiernych – sprawdzamy dzielniki wyrazu wolnego. Łatwo sprawdzić, że jednym z pierwiastków jest . Dzielimy wielomian przez
– my zrobimy to grupując wyrazy.
![3m 3 + 3m 2 − 59m + 53 = 3m 3 − 3m 2 + 6m 2 − 6m − 53m + 53 = 2 = 3m (m − 1)+ 6m (m − 1 )− 53 (m − 1) = = (3m 2 + 6m − 53)(m − 1).](https://img.zadania.info/zad/9701103/HzadR9x.png)
Rozkładamy teraz trójmian w pierwszym nawiasie
![2 3m + 6m − 5 3 = 0 / : 2 3- 2 53- 2 m + 3m − 2 = 0 √ ---2 Δ = 9+ 159√=-16 8 = (2 42) √ --- − 3 − 2 42 − 3+ 2 42 m = ------------ lub m = -----------. 3 3](https://img.zadania.info/zad/9701103/HzadR10x.png)
Pierwsze rozwiązanie jest ujemne i nie jest równe , więc na pewno spełnia warunek z
–ą. Natomiast drugie rozwiązanie
![√ --- −-3+--2--42-≈ 3,32 > 3,25 = 13- 3 4](https://img.zadania.info/zad/9701103/HzadR13x.png)
warunku z –ą nie spełnia.
Odpowiedź: lub