Zadania.info
Największy internetowy zbiór zadań z matematyki
cornersUpL
cornersUpR

Zadania

Na skróty

Recenzje

Linki sponsorowane

cornersM

Linki sponsorowane

cornersR

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki
Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 20 marca 2010 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których równanie ||1 √ -|| |7x-− 3| − m = 0 ma dwa pierwiastki, których iloczyn jest ujemny.

Zadanie 2
(4 pkt)

Rozwiąż układ równań { 5|y |+ 3x = 3y+ 3 |4y + 9x | = 6y.

Zadanie 3
(5 pkt)

W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości |AC | = b,|BC | = a , a wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego ma długość h .


PIC


Wykaż, że jeżeli b2 = a ⋅h to  √- cos ∡BAC = -5−2-1 .

Zadanie 4
(5 pkt)

Z miejscowości A i B , które są odległe o 58,5 km wyruszyły jednocześnie ku sobie dwa samochody. Pierwszy samochód w ciągu pierwszej minuty jechał ze średnią prędkością 30 km/h, a w ciągu każdej następnej minuty pokonywał drogę o 0,25 km dłuższą, niż w ciągu poprzedniej minuty. Drugi samochód przez pierwsze 6 minut przejechał 21 kilometrów, a potem jechał ze stałą prędkością 150 km/h. Oblicz po ilu minutach nastąpi spotkanie samochodów.

Zadanie 5
(4 pkt)

Ciąg (bn) jest nieskończonym ciągiem liczb dodatnich, a ciąg (an) spełnia warunek

an+ 1 − an = lo g2bn − log b101−n, dla n = 1,2,...,100.

Oblicz a101 − a1 .

Zadanie 6
(4 pkt)

Ze zbioru {1,2 ,... ,1 0} losujemy dwie różne liczby n i k . Oblicz prawdopodobieństwo, że

( ) ( ) 2n > k ⋅ n . 2 1

Zadanie 7
(5 pkt)

Okrąg o środku O jest wpisany w trójkąt ABC , gdzie A = (− 3,5) . Wiedząc, że okrąg ten jest styczny do boków AB i AC odpowiednio w punktach K = (0,− 1) i L = (3 ,2) oblicz długość odcinka AO .

Zadanie 8
(5 pkt)

Wyznacz wartość parametru m , dla którego równanie

x 3 + (m − 2)x2 + (6 − 2m )x − 12 = 0

ma trzy pierwiastki x 1,x2,x3 spełniające warunki x3 = −x 1 oraz x2 = x1 − 1 .

Zadanie 9
(4 pkt)

Trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD jest opisany na okręgu o promieniu r .

  • Wykaż, że |AB |+ |CD | ≥ 4r .
  • Wiedząc, że pole trapezu jest równe 4 wykaż, że r ≤ 1 .

Zadanie 10
(6 pkt)

Na płaskiej powierzchni położono trzy kule K 1,K 2,K3 , każda o promieniu 2 tak, że kule K 1 i K2 są styczne w punkcie P 3 , kule K 2 i K 3 są styczne w punkcie P 1 , a kule K3 i K 1 są styczne w punkcie P 2 . Następnie położono na tych kulach kulę K 4 o promieniu 3, która jest styczna do kul K1,K 2,K3 odpowiednio w punktach S 1,S 2,S3 .

  • Uzasadnij, że odcinki P1P 2 i S 1S2 są równoległe.
  • Oblicz obwód trapezu P1P2S 1S2 .

Zadanie 11
(4 pkt)

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych a ⁄= b oraz m ⁄= 0 równanie

 1 1 1 ------+ ------= -- x − a x − b m

ma dwa różne rozwiązania.

ArkuszWersja PDF