/Szkoła średnia/Zadania maturalne/Matura 2010/Matura próbna/Zadania.info
Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 20 marca 2010 Czas pracy: 180 minut
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie
ma dwa pierwiastki, których iloczyn jest ujemny.
Rozwiąż układ równań
W trójkącie prostokątnym przyprostokątne mają długości
, a wysokość opuszczona z wierzchołka kąta prostego ma długość
.
Wykaż, że jeżeli to
.
Z miejscowości i
, które są odległe o 58,5 km wyruszyły jednocześnie ku sobie dwa samochody. Pierwszy samochód w ciągu pierwszej minuty jechał ze średnią prędkością 30 km/h, a w ciągu każdej następnej minuty pokonywał drogę o 0,25 km dłuższą, niż w ciągu poprzedniej minuty. Drugi samochód przez pierwsze 6 minut przejechał 21 kilometrów, a potem jechał ze stałą prędkością 150 km/h. Oblicz po ilu minutach nastąpi spotkanie samochodów.
Ciąg jest nieskończonym ciągiem liczb dodatnich, a ciąg
spełnia warunek
![an+ 1 − an = lo g2bn − log b101−n, dla n = 1,2,...,100.](https://img.zadania.info/zes/0097724/HzesT13x.gif)
Oblicz .
Ze zbioru losujemy dwie różne liczby
i
. Oblicz prawdopodobieństwo, że
![( ) ( ) 2n > k ⋅ n . 2 1](https://img.zadania.info/zes/0097724/HzesT18x.gif)
Okrąg o środku jest wpisany w trójkąt
, gdzie
. Wiedząc, że okrąg ten jest styczny do boków
i
odpowiednio w punktach
i
oblicz długość odcinka
.
Wyznacz wartość parametru , dla którego równanie
![x 3 + (m − 2)x2 + (6 − 2m )x − 12 = 0](https://img.zadania.info/zes/0097724/HzesT28x.gif)
ma trzy pierwiastki spełniające warunki
oraz
.
Trapez prostokątny o podstawach
i
jest opisany na okręgu o promieniu
.
- Wykaż, że
.
- Wiedząc, że pole trapezu jest równe 4 wykaż, że
.
Na płaskiej powierzchni położono trzy kule , każda o promieniu 2 tak, że kule
i
są styczne w punkcie
, kule
i
są styczne w punkcie
, a kule
i
są styczne w punkcie
. Następnie położono na tych kulach kulę
o promieniu 3, która jest styczna do kul
odpowiednio w punktach
.
- Uzasadnij, że odcinki
i
są równoległe.
- Oblicz obwód trapezu
.
Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych oraz
równanie
![1 1 1 ------+ ------= -- x − a x − b m](https://img.zadania.info/zes/0097724/HzesT56x.gif)
ma dwa różne rozwiązania.