/Szkoła średnia

Zadanie nr 1199830

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Podstawą ostrosłupa prawidłowego ABCS jest trójkąt równoboczny ABC o boku długości 6. Na krawędziach bocznych BS i CS wybrano punkty, odpowiednio D i E , takie że |BD | = |CE | oraz |DE | = 4 (zobacz rysunek). Płaszczyzna ADE jest prostopadła do płaszczyzny ściany bocznej BCS ostrosłupa.

PIC

Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Rozwiązanie

Jedną z największych trudności tego zadania, to znalezienie sposobu na opisanie prostopadłości płaszczyzn ADE i BCS . Aby to zrobić dorysujmy wysokości trójkątów ADE i BCS .

PIC

Prostopadłość płaszczyzn ADE i BCS gwarantuje nam teraz prostopadłość wysokości AL i SK . W szczególności trójkąty AKL i ASL są prostokątne. Jeżeli oznaczymy AL = H (jest to wysokość czworościanu opuszczona na ścianę BCS ) i SL = h , to

SK BK 3 3 3 --- = ----= -- ⇒ SK = -SL = --h SL DL 2 2 2 LK = SK − SL = 3h − h = 1h. 2 2

To pozwala nam obliczyć H w zależności od h .

( √ --)2 ( ) 2 2 2 2 6--3- h- 2 h2- H = AL = AK − LK = 2 − 2 = 2 7− 4 .

Potrzebujemy jeszcze jednego równania wiążącego te dwie literki – patrzymy na trójkąty prostokątne ALS i SBK .

H 2 + h 2 = AL 2 + LS2 = AS 2 = BS 2 = BK 2 + SK 2 = 9+ 9h2 4 2 5-2 H = 9+ 4h .

Porównujemy teraz dwa otrzymane wzory na 2 H .

2 27 − h--= 9 + 5-h2 4 4 6- 2 3- 2 2 2- √ -- 18 = 4 h = 2 h ⇒ h = 18 ⋅3 = 12 ⇒ h = 2 3.

Stąd

∘ ------2- √ ------- √ --- √ -- H = 27− h--= 27− 3 = 24 = 2 6 4

i objętość ostrosłupa jest równa

√ -- V = 1-PBCS ⋅AL = 1-⋅ 1-⋅BC ⋅SK ⋅H = 1⋅ 6⋅ 3h ⋅2 6 = 3 √ -- √ -3 √2-- √ -- 6 2 = 3h ⋅ 6 = 6 3⋅ 6 = 18 2.

 
Odpowiedź: √ -- 18 2

Wersja PDF