/Szkoła średnia

Zadanie nr 1482944

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dwa okręgi o promieniach r = 2 i R = 6 są styczne zewnętrznie i są styczne do wspólnej prostej k . Wykaż, że prosta l przechodząca przez środki S i P tych okręgów przecina prostą k pod kątem α = 30∘ (zobacz rysunek).

PIC

Rozwiązanie

Niech A będzie punktem wspólnym prostych k i l oraz oznaczmy punkty styczności okręgów z prostą k przez B i C .

PIC

Sposób I

Trójkąty ABS i ACP są podobne, więc

AS--= AP-- BS CP AS-- AS-+-8-- 2 = 6 .

Stąd

6AS = 2AS + 16 ⇒ 4AS = 16 ⇒ AS = 4.

Mamy zatem

sinα = CP--= ---CP---- = --6---= 1. AP AS + SP 4 + 8 2

To oznacza, że α = 3 0∘ .

Sposób II

Niech D będzie rzutem punktu S na promień CP .

PIC

Czworokąt BCP S jest prostokątem, więc

DP = CP − CD = CP − BS = 6− 2 = 4.

Ponadto SD ∥ k , więc

sin α = sin ∡DSP = DP--= --4---= 1-. SP 2+ 6 2

To oznacza, że α = 3 0∘ .

Wersja PDF