/Szkoła średnia

Zadanie nr 1740847

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Długości boków czworokąta ABCD są równe: |AB | = 2, |BC | = 3 , |CD | = 4, |DA | = 5 . Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta.

Rozwiązanie

Rozpoczynamy od szkicowego rysunku.

PIC

Jeżeli oznaczymy ∡ABC = α to ∡ADC = 18 0∘ − α (własność czworokąta wpisanego w okrąg). Aby obliczyć co sα piszemy twierdzenia cosinusów w trójkątach ABC i ADC .

BA 2 + BC 2 − 2BA ⋅BC co sα = AC 2 = DA 2 + DC 2 − 2DA ⋅DC cos(180 ∘ − α ) 4+ 9− 2⋅2 ⋅3 cosα = 25 + 16 + 2 ⋅5⋅4 cos α − 28 = 52 cosα / : 52 2 8 7 cos α = − --- = − ---. 5 2 13

Raz jeszcze piszemy twierdzenie cosinusów w trójkącie ABC .

AC 2 = BA 2 + BC 2 − 2BA ⋅BC cosα = 7 253 = 4 + 9 + 2 ⋅2 ⋅3⋅ ---= ---. 13 13

Zatem ---- ∘ 253 AC = 13 .  
Odpowiedź: ∘ ---- 253 AC = 13

Wersja PDF