Definicja Ciąg nazywamy geometrycznym jeżeli iloraz każdych dwóch jego kolejnych wyrazów jest stały (nie zależy od
). W języku wzorów piszemy, że istnieje liczba
, dla której
![an+1 = qan, dla n ≥ 1.](https://img.zadania.info/por/0030129/HporT3x.png)
Liczbę nazywamy ilorazem ciągu
.
Ciąg stały
![(a,a,a,a,...)](https://img.zadania.info/por/0030129/HporT6x.png)
jest ciągiem geometrycznym o ilorazie .
Ciąg naprzemienny
![(a,−a ,a,−a ,...)](https://img.zadania.info/por/0030129/HporT8x.png)
jest ciągiem geometrycznym o ilorazie .
Ciągi
![(1,2,4,8,16,32 ,...) (1,3,9,27,81,2 43,...) ( 1 1 1 1 1 ) 1,-, -,--,--,---,... ( 2 4 8 16 3 2 ) 1- 1- -1- 1-- -1-- 1,− 3, 9,− 27 ,81,− 24 3,... .](https://img.zadania.info/por/0030129/HporT10x.png)
kolejnych potęg są ciągami geometrycznymi o ilorazach odpowiednio
.
Ciągi skończone
![(8,12,18 ,27) ∘ ------ (4, log 16,log 2) (tgα ,− 1,ctg α).](https://img.zadania.info/por/0030129/HporT13x.png)
są geometryczne (z ilorazmi odpowiednio).
Ciągi
![(1,2,3 ,4 ,5,...) (1,4,9 ,1 6,25,...) (2,4,− 8,1 6,32,− 64,128,2 56,− 512,...)](https://img.zadania.info/por/0030129/HporT15x.png)
nie są geometryczne, bo iloraz kolejnych wyrazów zależy od tego, które wyrazy przez siebie dzielimy (nie jest stały).
Dlaczego geometryczny? Dlaczego ciąg o stałych ilorazach kolejnych wyrazów nazywamy ciągiem geometrycznym? Powodem jest bardzo użyteczna charakteryzacja takiego ciągu:
Ciąg o wyrazach dodatnich jest ciągiem geometrycznym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy wyraz, z wyjątkiem pierwszego (i ostatniego jeżeli ciąg jest skończony) jest średnią geometryczną wyrazów sąsiednich.
W języku wzorów piszemy
![√ --------- an = an−1an+ 1, dla n ≥ 2.](https://img.zadania.info/por/0030129/HporT16x.png)
Wykluczenie z powyższego warunku wyrazów pierwszego i ostatniego powinno być oczywiste – każdy z tych wyrazów ma tylko jednego sąsiada.
Ciąg nie jest geometryczny bo
![√ ------ 4⋅ 16 = 8 ⁄= 9 .](https://img.zadania.info/por/0030129/HporT18x.png)
Aby sprawdzić, czy ciąg jest geometryczny wystarczy sprawdzić prawdziwość dwóch równości
![√ ------ √ ---- 8⋅18 = 144 = 1 2 √ ------- √ ---- 12⋅2 7 = 324 = 18.](https://img.zadania.info/por/0030129/HporT20x.png)
Wzory Z definicji ciągu geometrycznego
![an+1 = qan, dla n ≥ 1.](https://img.zadania.info/por/0030129/HporT21x.png)
widać, że każdy kolejny wyraz powstaje z poprzedniego przez pomnożenie przez liczbę . To oznacza, że cały ciąg jest wyznaczony przez swój pierwszy wyraz
i iloraz
. Można to nawet powiedzieć dokładniej:
-ty wyraz powstaje z pierwszego przez mnożenie
razy przez iloraz
(bo drugi powstaje przez mnożenie przez
, trzeci przez mnożenie przez
itd.). Daje to nam wzór na
-ty wyraz ciągu geometrycznego.
![n− 1 an = a1q .](https://img.zadania.info/por/0030129/HporT31x.png)
Ile jest równy wyraz ciągu geometrycznego
![1 5 45 135 305 5,− ---,---,− ---, ---,... 2 4 8 16](https://img.zadania.info/por/0030129/HporT33x.png)
Gdy się przyjrzymy to powinno być widać, że mamy do czynienia z ciągiem geometrycznym o ilorazie . Zatem
![( ) 13 13 13 3- 3-- a14 = a1q = 5 ⋅ − 2 = − 5 ⋅213.](https://img.zadania.info/por/0030129/HporT35x.png)
Obliczmy iloraz ciągu geometrycznego , w którym
i
.
Ze wzoru na -ty wyraz ciągu geometrycznego mamy
![128 − 5 = a129 = a1q 40 = a = a q 125 126 1](https://img.zadania.info/por/0030129/HporT40x.png)
Dzieląc pierwszą równość przez drugą mamy
![128 −-5-= − 1-= a1q--- = q3 ⇒ q = − 1. 40 8 a1q125 2](https://img.zadania.info/por/0030129/HporT41x.png)
Jest jeszcze jeden wzór do zapamiętania, mianowicie wzór na sumę początkowych wyrazów ciągu geometrycznego, w którym
.
![n Sn = a1 + a2 + ⋅⋅⋅+ an = a1 ⋅ 1−-q-. 1 − q](https://img.zadania.info/por/0030129/HporT44x.png)
Obliczmy sumę 100 początkowych wyrazów ciągu .
Ciąg jest ciągiem geometrycznym z
i
, zatem
![( ) 100 1− − 13 1− -1100 3 1 S100 = -----(---)---= ---43---= --− ----99. 1− − 13 3 4 4 ⋅3](https://img.zadania.info/por/0030129/HporT49x.png)
Uzasadnijmy, że każdy wyraz ciągu jest o 1 większy od sumy wszystkich poprzednich wyrazów.
Ciąg jest ciągiem geometrycznym z
i
. Zatem
![1−--2n−1- n−1 Sn− 1 = 1− 2 = 2 − 1 = an − 1 .](https://img.zadania.info/por/0030129/HporT54x.png)
Monotoniczność Dość oczywista własność, ale wyraźnie to napiszemy, bo czasem pojawia się w sformułowaniach zadań. Niech będzie ciągiem geometrycznym o ilorazie
. Wtedy
-
ciąg
jest rosnący wtedy i tylko wtedy, gdy
i
, lub
i
;
-
ciąg
jest malejący wtedy i tylko wtedy, gdy
i
, lub
i
;
-
ciąg
jest stały wtedy i tylko wtedy, gdy
lub
;
-
nie jest monotoniczny w pozostałych przypadkach.
Pierwszy z ciągów geometrycznych
![( 1 1 1 ) − --,− -,− --,... ( 2 4 8) 1- 1--1- 3 ,9,2 7,...](https://img.zadania.info/por/0030129/HporT70x.png)
jest rosnący, a drugi malejący.
Ciąg geometryczny
![( 1 1 1 1 ) --,− -,--,− --,... 2 4 8 16](https://img.zadania.info/por/0030129/HporT71x.png)
nie jest monotoniczny.