/Szkoła średnia

Równania i nierówności trygonometryczne

Równania trygonometryczne w zasadzie nikomu się dobrze nie kojarzą. Powód jest prosty: na ogół mają nieskończenie wiele rozwiązań, więc samo zapisanie rozwiązań bywa kłopotliwe. Wykresy Rozwiązując równania/nierówności trygonometryczne nie do przecenienia są wykresy. Trzeba rozwiązać wiele przykładów, zanim będziemy umieli pisać rozwiązania równań/nierówności trygonometrycznych bez rysowania wykresu – na początku wykresy są niezbędne.

ZINFO-FIGURE

ZINFO-FIGURE

Oczywiście nie są nam potrzebne dokładne wykresy, na ogół wystarczy nam szkic. Najprostsze równania Bardzo wiele zadań sprowadza się do jednego ze wzorków:

sinx = 0 ⇐ ⇒ x = kπ π sinx = 1 ⇐ ⇒ x = --+ 2kπ 2 sinx = − 1 ⇐ ⇒ x = − π-+ 2k π 2 π- cos x = 0 ⇐ ⇒ x = 2 + kπ cos x = 1 ⇐ ⇒ x = 2kπ cos x = − 1 ⇐ ⇒ x = (2k+ 1)π.

W każdym z powyższych wzorów literka k jest dowolną liczbą całkowitą, co zwykle krótko się zapisuje: k ∈ C . Jak już wspominaliśmy, jest to typowa sytuacja w przypadku równań/nierówności trygonometrycznych – na ogół mają one nieskończenie wiele rozwiązań.

Jeżeli chodzi o same wzory, to radzę dobrze się im poprzyglądać i porównać je z wykresami odpowiednich funkcji. Wzory te opisują punkty, w których sinus/cosinus mają dołki i górki, oraz punkty, w których ich wykresy przecinają oś Ox . Przed dalszą lekturą radzę na tyle się z tymi wzorkami oswoić, żeby umieć je wszystkie napisać nie zaglądając do powyższej listy. Oczywiście nie należy ich się uczyć na pamięć! – chodzi o umiejętność odczytywania ich z wykresów. W szczególności ważne jest, żeby rozumieć, dlaczego w niektórych jest kπ , a w innych 2k π . Proste równania: tangens i cotangens Stosunkowo łatwe do rozwiązania są równania postaci tgx = a lub ctgx = a : jeżeli znamy chociaż jedną liczbę x0 , która spełnia to równanie, to wszystkie rozwiązania są postaci x = x 0 + k π, k ∈ C (funkcje te powtarzają się dokładnie co π ).

A skąd wziąć x0 ? Jeżeli √ - √ -- a ∈ {0,--3,1, 3} 3 , to rozwiązanie x0 odczytujemy z tabelki

kąt 0 π6 π4 π3- π2-
tangens 0 √- -3- 3 1 √ -- 3 ± ∞
cotangens± ∞ √ -- 3 1 √- 33- 0

W przypadku wartości a > 0 , których nie ma w powyższej tabelce, możemy co najwyżej odczytać z tablic przybliżoną wartość x0 .

Jeżeli natomiast a < 0 , to postępujemy podobnie jak wyżej, ale bierzemy − x0 , gdzie x0 jest rozwiązaniem równania tgx = −a /ctg x = −a (to jest dobrze, bo tg(−x ) = − tg x i ctg(−x ) = − ctgx ).

Rozwiązania równania √ -- tgx = − 3 możemy zapisać w postaci x = − π-+ kπ 3 , gdzie k ∈ C .

Rozwiążmy równanie |ctg x| = 1 . Mamy

ctg x = 1 ∨ ctg x = − 1 x = π-+ kπ ∨ x = − π- + kπ , k ∈ C . 4 4

ZINFO-FIGURE

Proste równania: sinus i cosinus Odrobinę trudniej jest w przypadku funkcji sinus i cosinus. Jeżeli a ⁄= 0 i a ⁄= ±1 , to są dwa rodzaje rozwiązań równania sin x = a /cosx = a : jedne są na rosnących górkach, a drugie na malejących. Jeżeli mamy rozwiązania x1 i x 2 obu typów, to wszystkie rozwiązania są postaci x = x1 + 2kπ, x = x 2 + 2k π , gdzie k ∈ C .

ZINFO-FIGURE

Zatem rozwiązywanie takiego równania sprowadza się do znalezienia jednego rozwiązania na rosnącej górce i jednego na malejącej.

Patrząc ponownie na wykresy sinusa i cosinusa, łatwo odczytać jak znaleźć drugie rozwiązanie x 2 , gdy mamy x 1 :

  • W przypadku cosinusa można zawsze wziąć x2 = −x 1 (bo cos(−x ) = cosx ). W tym przypadku często rozwiązanie równania zapisuje się w postaci x = ±x + 2kπ 1 .

  • Dla sinusa zwykle bierze się x2 = π − x1 (bo sin(π − x ) = sin x ) i wszystkie rozwiązania to x1 + 2kπ lub π − x1 + 2kπ .

No dobrze, powiedzieliśmy już jak znaleźć x 2 mając x1 , ale skąd wziąć x1 ?

Jeżeli a > 0 to zawsze możemy znaleźć rozwiązanie x 1 , które jest w przedziale π (0 ,2) . Jeżeli 1 √ 2 √ 3 a ∈ { 2,-2-,-2-} to rozwiązanie odczytujemy z tabelki

kąt π6 π4- π3-
sinus 1 2 √-2 2 √-3 2
cosinus√- -32- √ - -22 12

Rozwiązania równania √ 3 sin x = -2- możemy zapisać w postaci:

x = π- + 2kπ ∨ x = 2π-+ 2kπ, k ∈ C . 3 3

Rozwiązania równania √ 3 cos x = -2- możemy zapisać w postaci:

x = − π-+ 2kπ ∨ x = π- + 2kπ , k ∈ C . 6 6

Możemy też zapisać je skrótowo π x = ± 6-+ 2kπ , k ∈ C .

Jeżeli natomiast a < 0 , to w przypadku funkcji sin x bierzemy − x 1 , gdzie x1 jest rozwiązaniem równania z prawą stroną równą − a . W przypadku funkcji cosx bierzemy π − x1 .

Rozwiązania równania 1 sin x = − 2 to

x = − π- + 2kπ ∨ x = 7π-+ 2kπ, k ∈ C . 6 6

Równie dobrze możemy wziąć

x = − π- + 2kπ ∨ x = − 5π-+ 2k π, k ∈ C . 6 6

Rozwiązaniem równania 1 co sx = − 2 jest zbiór x = ± 2π3-+ 2kπ , k ∈ C .

Jak to zapamiętać? Zanim przejdziemy dalej, warto na chwilę się zatrzymać i pozbierać to, co do tej pory ustaliliśmy. Rozwiązanie równania sin x = a /co sx = a /tg x = a/ ctg x = a zawsze sprowadza się do pytania: w jakich punktach prosta y = a przecina wykres odpowiedniej funkcji. Jak te punkty znaleźć? – oczywiście trzeba naszkicować wykres funkcji i odczytać z wykresu. Zamiast uczyć się na pamięć wyżej wypisanych reguł, wystarczy zapamiętać, że w przypadku sinusa/cosinusa i a ⁄∈ {− 1,0,1} są dwa rodzaje rozwiązań, a we wszystkich pozostałych przypadkach wystarczy znaleźć jedno rozwiązanie i skorzystać z okresowości odpowiedniej funkcji. W każdym z przypadków, wszystko co jest nam potrzebne do napisania rozwiązań znajdziemy na wykresie. Proste nierówności Jeżeli umiemy już rozwiązywać równania postaci sin x = a /co sx = a /tg x = a/ ctg x = a , to rozwiązywanie analogicznych nierówności nie powinno sprawiać żadnego problemu. Nie będziemy tu wypisywać regułek ani wzorków, bo to nie ma sensu – zawsze rysujemy obrazek i patrzymy na nim o co chodzi.

Rozwiążmy nierówność √ - |sin x| < -22 .
Dana nierówność jest równoważna nierówności

√ -- √ -- − --2-< sin x < --2-. 2 2
ZINFO-FIGURE

Szukamy zatem na wykresie przedziałów, na których sinus jest w przedziale √-2 √-2 (− 2 , 2 ) . Gdy się przyjrzymy, to widać, że są dwa rodzaje takich przedziałów: zielone i niebieskie. Ponieważ umiemy już rozwiązywać równanie √- sin x = ± -2- 2 , nie jest trudno opisać te przedziały, są to

( ) ( π π ) 3π 5π − --+ 2kπ ,--+ 2k π oraz --- + 2kπ ,--- + 2kπ . 4 4 4 4

Bardziej skomplikowane równania/nierówności Rozwiązywanie ogólnych równań trygonometrycznych prawie zawsze polega na przekształcaniu równania/nierówności do postaci, w której pozostają nam do rozwiązania proste równania/nierówności, o których pisaliśmy wyżej. Jak to robić? Na tym polega cała zabawa – do tego trzeba mieć dobrze opanowaną umiejętność posługiwania się tożsamościami trygonometrycznymi. Można wyróżnić dwie najważniejsze metody postępowania.
1. Przekształcamy dane równanie/nierówność tak, aby występowała w nim tylko jedna funkcja trygonometryczna. Możemy wtedy za nią podstawić i otrzymamy równanie/nierówność bez funkcji trygonometrycznych.

Rozwiążmy równanie tgx + ctg x = 2 .
Ponieważ ctg x = -1- tgx , możemy podstawić t = tgx , co daje nam równanie

t+ 1-= 2 t t2 + 1 = 2t 2 (t− 1) = 0 ⇐ ⇒ t = 1 π- tg x = 1 ⇐ ⇒ x = 4 + kπ , k ∈ C.

Rozwiążmy nierówność cos22x + sin 2x ≥ 1 .
Korzystamy z jedynki trygonometrycznej i podstawiamy t = sin 2x .

2 2 sin 2x ≥ 1− cos 2x = sin 2x t ≥ t2 ⇐ ⇒ 0 ≥ t(t− 1) ⇐ ⇒ t ∈ ⟨0,1⟩ sin 2x ∈ ⟨0 ,1 ⟩ ⇐ ⇒ sin2x ≥ 0 ( ) (2k+--1)π- 2x ∈ (2kπ ,(2k + 1 )π) ⇐ ⇒ x ∈ kπ, 2 , k ∈ C .

2. Inny popularny sposób, to przekształcenie równania/nierówności do postaci, w której z lewej strony mamy iloczyn prostych wyrażeń, a z prawej strony 0.

Rozwiążmy równanie sin 2x = sin x .
Przekształcamy

2sinx cos x− sin x = 0 1 sinx (2cos x− 1) = 0 ⇐ ⇒ sin x = 0 ∨ cosx = -- π 2 x = kπ ∨ x = ± -- + 2kπ , k ∈ C. 3
Powyżej wyświetlona jest tylko pierwsza część poradnika. Druga część jest dostępna tylko dla użytkowników z wykupionym abonamentem.
Zaloguj się Informacje o abonamencie
Nie chcesz się rejestrować ani opłacać abonamentu? Zapłać przelewem 7,90 zł lub telefonicznie 9,90 zł, a otrzymasz dwudziestominutowy dostęp do wszystkich materiałów dostępnych w portalu.