Bogactwo tożsamości trygonometrycznych jest niewątpliwie źródłem frustracji niejednego ucznia – trzeba dużo wprawy, żeby sprawnie się nimi posługiwać. Z drugiej strony, dzięki tym tożsamościom świat trygonometrii jest niezwykle ciekawy. Jedynka trygonometryczna Najpopularniejszą tożsamością trygonometryczną jest jedynka trygonometryczna

Jedynkę musi znać każdy i należy myśleć, że pozwala ona zamieniać na
i odwrotnie.
Zbadajmy zbiór wartości funkcji .
Z jedynki trygonometrycznej mamy

Korzystając teraz z nierówności łatwo uzasadnić, że zbiór wartości
to przedział
.
Wzory redukcyjne Jest wiele wzorów redukcyjnych i dokładnie omówiliśmy je w poradniku o wzorach redukcyjnych. Najważniejsze z nich to

oraz

Wzory te pozwalają przesuwać argument funkcji trygonometrycznych o wielokrotność . Ponadto wzory z
pozwalają zamieniać funkcję sinus/tangens na cosinus/cotangens i odwrotnie.
Obliczmy .
Liczymy

Rozwiążmy nierówność .
Przekształcamy lewą stronę.

Mamy zatem

Podwojenie kąta Mamy dwa niezwykle użyteczne wzorki

Korzystając z jedynki trygonometrycznej, drugi z tych wzorów możemy zapisać w postaci

Wzory te bardzo często występują w zadaniach szkolnych, więc warto wyrobić sobie nawyk, że jak widzimy prawą stronę któregoś z tych wzorów, to dzwoni nam dzwoneczek /
.
Wyznaczmy zbiór wartości funkcji .
Ze wzoru na mamy

A więc zbiór wartości funkcji to przedział
(bo zbiór wartości
to przedział
).
Rozwiążmy równanie .
Ze wzoru na , możemy równanie przekształcić następująco

Sumy i różnice kątów Wzory trochę ogólniejsze od wzorów na sinus/cosinus podwojonego kąta:

W zasadzie wystarczy pamiętać tylko pierwszy i trzeci z tych wzorów, dwa pozostałe dostajemy wstawiając do nich zamiast
.
Oczywiste zastosowanie tych wzorów to możliwość obliczenia funkcji trygonometrycznych kąta jeżeli znamy funkcje kątów
i
.
Obliczmy .
Liczymy

Uzasadnij, że jeżeli to
.
Na mocy powyższych wzorów mamy

Sumy i różnice funkcji Ostatnia seria wzorków to wzory na sumy i różnice sinusów/cosinusów.

Wzory te są bardzo użyteczne w równaniach i nierównościach, gdyż pozwalają zamieniać równania typu suma równa 0, na równania typu iloczyn równy 0, a te drugie rozwiązuje się o wiele łatwiej.
Rozwiążmy równanie .
Z wzoru na różnicę cosinusów mamy

Czyli lub
. Stąd
,
.