/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom podstawowy 23 kwietnia 2016 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba √ --- √ --- 3 27 − 2 4 8 jest równa
A) 3− 32 B) 3− 12 C) 312 D) 3 32

Zadanie 2
(1 pkt)

Cena długopisu po 2 podwyżkach o 20% i trzech obniżkach o 50% zmalała o 2,87 zł. Nowa cena długopisu jest równa
A) 1,26 zł B) 0,63 zł C) 3,50 zł D) 6,37 zł

Zadanie 3
(1 pkt)

Wartość wyrażenia lo g40,06 25− 12 log16 4⋅log 16 1 jest równa
A) − 2 B) − 21 4 C) − 3 D) 0

Zadanie 4
(1 pkt)

Równość √ - √- 5−√-5 1−-√5 u 5 = 5√+-5 5+1 zachodzi dla
A) 1 √5- u = − 5 B) 1 1-- u = √5 C) 1 √5- u = 5 D) 1 √ -- u = − 5

Zadanie 5
(1 pkt)

Iloczyn pierwszych 5 wyrazów ciągu geometrycznego danego wzorem -4 an = 2n , gdzie n ≥ 1 jest równy
A) 1 4 B) 1- 16 C) -1 32 D) 1 8

Zadanie 6
(1 pkt)

Równanie 2x 2 − 1 1x+ 3 = 0
A) nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B) ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C) ma dwa dodatnie rozwiązania rzeczywiste.
D) ma dwa ujemne rozwiązania rzeczywiste.

Zadanie 7
(1 pkt)

Jeżeli wykres funkcji y = 4x + mx nie ma punktów wspólnych z prostą y = − 2x − 1 to
A) m = − 2 B) m = −6 C) m = 0 D) m = 2

Zadanie 8
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono wykres funkcji f .

ZINFO-FIGURE

Zbiorem wartości funkcji f jest przedział
A) (− 1,3) B) ⟨− 1,3) C) ⟨− 1,3⟩ D) (− 1,3⟩

Zadanie 9
(1 pkt)

Iloczyn rozwiązań równania x (25x3 − 3) = (1 − 5x 2)2 jest równy
A) -1 10 B) 3- 10 C) 1- − 10 D) − 130

Zadanie 10
(1 pkt)

Prosta k przecina oś Oy układu współrzędnych w punkcie (0,3) i jest prostopadła do prostej o równaniu y = − 2x . Wówczas prosta k przecina oś Ox układu współrzędnych w punkcie
A) ( 3,0) 2 B) (− 3,0) C) (6,0) D) (− 6,0)

Zadanie 11
(1 pkt)

Wykres funkcji 2 f (x) = − 3(x − 2) + 5 przesunięto o 3 jednostki w lewo i 2 jednostki w górę. W wyniku tej operacji otrzymano wykres funkcji
A) y = − 3 (x − 5)2 + 2 B) y = − 3(x + 1)2 + 2
C) y = − 3(x − 5 )2 + 7 D) y = − 3(x + 1)2 + 7

Zadanie 12
(1 pkt)

Ile liczb całkowitych x spełnia nierówność 3 -x 5 5 < 15 < 2 ?
A) 27 B) 28 C) 29 D) 30

Zadanie 13
(1 pkt)

W trapezie KLMN , w którym KL ||MN , kąt LKN jest prosty (zobacz rysunek) oraz dane są: |MN | = 3 , |KN | = 4√ 3- , |∡KLM | = 30∘ . Pole tego trapezu jest równe:

ZINFO-FIGURE

A) √ -- 4+ 2 3 B) √ -- 28 3 C) √ -- 36 3 D) √ -- 24 + 6 3

Zadanie 14
(1 pkt)

Suma dwudziestu początkowych wyrazów pewnego ciągu arytmetycznego jest 6 razy większa od sumy dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu. Wynika stąd, że suma drugiego i czwartego wyrazu tego ciągu jest równa
A) 0 B) 2 C) 8 D) 6

Zadanie 15
(1 pkt)

Ciąg liczbowy określony jest wzorem n an = 22n−+11- , dla n ≥ 1 . Szósty wyraz tego ciągu jest równy
A) − 1 B) 12 13 C) 63 65 D) 1

Zadanie 16
(1 pkt)

Punkty A i B dzielą okrąg na dwa łuki, przy czym miary kątów wpisanych opartych na tych łukach różnią się o ∘ 20 . Wynika stąd, że większy z tych katów ma miarę
A) 100 ∘ B) 200∘ C) 50 ∘ D) 80∘

Zadanie 17
(1 pkt)

Sinus kąta ostrego α jest równy 8- 17 . Wówczas
A) 15 c osα = 17 B) 2√ 2 cos α = -17- C) co sα = 15- 8 D) co sα = 8- 15

Zadanie 18
(1 pkt)

Boki trójkąta mają długości 30 i 8, a kąt między tymi bokami ma miarę 150 ∘ . Pole tego trójkąta jest równe
A) 60 B) 120 C) 60√ 3- D) √ -- 120 3

Zadanie 19
(1 pkt)

Ile jest wszystkich liczb czterocyfrowych, większych 3200, utworzonych wyłącznie z cyfr 1, 2, 3, przy założeniu, że cyfry mogą się powtarzać, ale nie wszystkie z tych cyfr muszą być wykorzystane?
A) 9 B) 6 C) 18 D) 27

Zadanie 20
(1 pkt)

Dane są punkty M = (− 3,1) i N = (− 1,2) . Punkt K jest środkiem odcinka MN . Obrazem punktu K w symetrii względem początku układu współrzędnych jest punkt
A) ( ) K ′ = 2,− 32 B) ( ) K ′ = 2, 32 C) K ′ = ( 3,2) 2 D) K ′ = (3,− 2) 2

Zadanie 21
(1 pkt)

Suma liczby wierzchołków i liczby krawędzi graniastosłupa może być równa
A) 2017 B) 2016 C) 2015 D) 2014

Zadanie 22
(1 pkt)

Przekątna przekroju osiowego walca jest o 13 dłuższa od promienia podstawy tego walca, oraz o 2 dłuższa od jego wysokości. Pole podstawy tego walca jest równe
A) 16π B) 64π C) 22 5π D) 8π

Zadanie 23
(1 pkt)

Średnia arytmetyczna zestawu danych: 7, 12, 8, 6, x , 2x jest taka sama jak średnia arytmetyczna zestawu danych: 11, 8, 9, 3, x , x , 2x . Wynika stąd, że
A) x = 7 B) x = 5 C) x = 13 D) x = 15

Zadania otwarte

Zadanie 24
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność 3x 2 − 1 2x > (2x + 1)(x − 4 ) .

Zadanie 25
(2 pkt)

Wykaż, że dla wszystkich dodatnich liczb rzeczywistych a,b prawdziwa jest nierówność b2 + a2 ≥ a + b a b .

Zadanie 26
(2 pkt)

Punkt P należy do okręgu opisanego na kwadracie ABCD . Wykaż, że |P B|2 − |PA |2 = |PC |2 − |P D |2 .

ZINFO-FIGURE

Zadanie 27
(2 pkt)

Niech K 1 będzie kwadratem o boku długości a . Konstruujemy kolejno kwadraty K 2,K3,K 4... takie, że bok kolejnego kwadratu jest równy przekątnej poprzedniego kwadratu. Oblicz sumę pól kwadratów K 1,K2,...,K 11 .

Zadanie 28
(2 pkt)

Ze zbioru liczb dwucyfrowych losujemy jedną liczbę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że iloczyn cyfr wylosowanej liczby jest dodatnią liczbą złożoną?

Zadanie 29
(2 pkt)

Dany jest prostokąt o bokach a i b oraz prostokąt o bokach c i d . Długość boku c to 80% długości boku a . Długość boku d to 140% długości boku b . Oblicz, ile procent pola prostokąta o bokach a i b stanowi pole prostokąta o bokach c i d .

Zadanie 30
(2 pkt)

Wyznacz współrzędne punktu przecięcia się przekątnych czworokąta ABCD jeżeli A = (− 31,0) , B = (32,15) , C = (4 3,0) i D = (− 24,− 9) .

Zadanie 31
(4 pkt)

Na rysunku przedstawiono kwadrat ABCD o polu 4.

ZINFO-FIGURE

Punkty E i F są środkami boków BC i AB , a punkt G jest punktem wspólnym odcinków CF i DE . Oblicz pole czworokąta AF GD

Zadanie 32
(5 pkt)

W nieskończonym ciągu arytmetycznym (an) , określonym dla n ≥ 1 , suma dziewięciu początkowych wyrazów jest równa 171. Średnia arytmetyczna pierwszego, trzeciego i ósmego wyrazu tego ciągu, jest równa 15. Wyrazy a1, a 4, ak ciągu (an) , w podanej kolejności, tworzą nowy ciąg – trzywyrazowy ciąg geometryczny (bn) . Oblicz k .

Zadanie 33
(4 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt, którego boki pozostają w stosunku 5:12, a pole jest równe 240 (zobacz rysunek). Punkt E jest wyznaczony przez przecinające się przekątne podstawy, a odcinek SE jest wysokością ostrosłupa. Każda krawędź boczna tego ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem ∘ 60 . Oblicz objętość ostrosłupa.

ZINFO-FIGURE

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania