/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 9 maja 2019 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Dla dowolnych liczb x > 0 , x ⁄= 1 , y > 0 , y ⁄= 1 wartość wyrażenia ( ) ( ) log1 y ⋅ lo g1 x x y jest równa
A) x ⋅y B) 1x⋅y- C) − 1 D) 1

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba co s2105∘ − sin21 05∘ jest równa
A) √ 3 − -2- B) 1 − 2 C) 1 2 D) √ - --3 2

Zadanie 3
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji y = f(x ) , który jest złożony z dwóch półprostych AD i CE oraz dwóch odcinków AB i BC , gdzie A = (− 1,0 ) , B = (1,2) , C = (3 ,0 ) , D = (− 4,3) , E = (6,3) .

ZINFO-FIGURE

Wzór funkcji f to
A) |x + 1|+ |x − 1 | B) ||x − 1 |− 2| C) ||x− 1|+ 2 | D) |x − 1|+ 2

Zadanie 4
(1 pkt)

Zdarzenia losowe A i B zawarte w Ω są takie, że prawdopodobieństwo ′ P(B ) zdarzenia ′ B , przeciwnego do zdarzenia B , jest równe 1 4 . Ponadto prawdopodobieństwo warunkowe P(A |B ) = 15 . Wynika stąd, że
A) P (A ∩ B) = 1- 20 B) P(A ∩ B) = -4 15 C) 3 P (A ∩ B) = 20 D) 4 P (A ∩ B ) = 5

Zadania otwarte

Zadanie 5
(2 pkt)

Oblicz granicę ( ) lim ---9n3+-11n2--− -n2-- n→+ ∞ 7n3+5n2+ 3n+ 1 3n2+1 .

Zadanie 6
(3 pkt)

Rozważamy wszystkie liczby naturalne pięciocyfrowe zapisane przy użyciu cyfr 1, 3, 5, 7, 9, bez powtarzania jakiejkolwiek cyfry. Oblicz sumę wszystkich takich liczb.

Zadanie 7
(2 pkt)

Punkt P = (10,24 29) leży na paraboli o równaniu 2 y = 2x + x + 221 9 . Prosta o równaniu kierunkowym y = ax+ b jest styczna do tej paraboli w punkcie P . Oblicz współczynnik b .

Zadanie 8
(3 pkt)

Udowodnij, że dla dowolnych dodatnich liczb rzeczywistych x i y , takich że x < y , i dowolnej dodatniej liczby rzeczywistej a , prawdziwa jest nierówność x+a- y y+a + x > 2 .

Zadanie 9
(3 pkt)

Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AC | = |BC | . Na ramieniu AC tego trójkąta wybrano punkt M (M ⁄= A i M ⁄= C ), a na ramieniu BC wybrano punkt N , w taki sposób, że |AM | = |CN | . Przez punkty M i N poprowadzono proste prostopadłe do podstawy AB tego trójkąta, które wyznaczają na niej punkty S i T . Udowodnij, że 1 |ST | = 2|AB | .

Zadanie 10
(4 pkt)

Punkt D leży na boku AB trójkąta ABC oraz |AC | = 16 , |AD | = 6 , |CD | = 14 i |BC | = |BD | . Oblicz obwód trójkąta ABC .

Zadanie 11
(6 pkt)

Dane są okręgi o równaniach 2 2 x + y − 12x − 8y + 43 = 0 i 2 2 2 x + y − 2ax + 4y + a − 77 = 0 . Wyznacz wszystkie wartości parametru a , dla których te okręgi mają dokładnie jeden punkt wspólny. Rozważ wszystkie przypadki.

Zadanie 12
(6 pkt)

Trzywyrazowy ciąg (a,b,c) o wyrazach dodatnich jest arytmetyczny, natomiast ciąg

( ) 1- 2-- -----1------ a ,3b, 2a+ 2b+ c

jest geometryczny. Oblicz iloraz ciągu geometrycznego.

Zadanie 13
(6 pkt)

Wielomian określony wzorem W (x ) = 2x3 + (m 3 + 2 )x2 − 11x − 2(2m + 1) jest podzielny przez dwumian (x− 2) oraz przy dzieleniu przez dwumian (x + 1 ) daje resztę 6. Oblicz m i dla wyznaczonej wartości m rozwiąż nierówność W (x) ≤ 0 .

Zadanie 14
(4 pkt)

Rozwiąż równanie [ ( ) ( )] (cos x) ⋅ sin x − π3 + sin x + π3- = 12 sinx .

Zadanie 15
(7 pkt)

Rozważmy wszystkie graniastosłupy prawidłowe trójkątne o objętości V = 2 . Wyznacz długości krawędzi tego z rozważanych graniastosłupów, którego pole powierzchni całkowitej jest najmniejsze. Oblicz to najmniejsze pole.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania