/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 12 maja 2023 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(2 pkt)

W chwili początkowej (t = 0) masa substancji jest równa 4 gramom. Wskutek rozpadu cząsteczek tej substancji jej masa się zmniejsza. Po każdej kolejnej dobie ubywa 19% masy, jaka była na koniec doby poprzedniej. Dla każdej liczby całkowitej t ≥ 0 funkcja m (t) określa masę substancji w gramach po t pełnych dobach (czas liczymy od chwili początkowej). Wyznacz wzór funkcji m (t) . Oblicz, po ilu pełnych dobach masa tej substancji będzie po raz pierwszy mniejsza od 1,5 grama.

Zadanie 2
(3 pkt)

Tomek i Romek postanowili rozegrać między sobą pięć partii szachów. Prawdopodobieństwo wygrania pojedynczej partii przez Tomka jest równe 1 4 . Oblicz prawdopodobieństwo wygrania przez Tomka co najmniej czterech z pięciu partii. Wynik podaj w postaci ułamka zwykłego nieskracalnego.

Zadanie 3
(3 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem 2 f(x ) = x32x+−2x2+x8- dla każdej liczby rzeczywistej x . Punkt P = (x0,3) należy do wykresu funkcji f . Oblicz x0 oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji f w punkcie P .

Zadanie 4
(3 pkt)

Liczby rzeczywiste x oraz y spełniają jednocześnie równanie x + y = 4 i nierówność

x3 − x2y ≤ xy 2 − y 3.

Wykaż, że x = 2 oraz y = 2 .

Zadanie 5
(3 pkt)

Dany jest trójkąt prostokątny ABC , w którym |∡ABC | = 90∘ oraz |∡CAB | = 60∘ . Punkty K i L leżą na bokach – odpowiednio – AB i BC tak, że |BK | = |BL | = 1 (zobacz rysunek). Odcinek KL przecina wysokość BD tego trójkąta w punkcie N , a ponadto |AD | = 2 .

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że √ -- |ND | = 3+ 1 .

Zadanie 6
(3 pkt)

Rozwiąż równanie 4 sin 4x cos 6x = 2 sin 10x + 1 .

Zadanie 7
(4 pkt)

Dany jest sześcian ABCDEF GH o krawędzi długości 6. Punkt S jest punktem przecięcia przekątnych AH i DE ściany bocznej ADHE (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz wysokość trójkąta SBH poprowadzoną z punktu S na bok BH tego trójkąta.

Zadanie 8
(4 pkt)

Czworokąt ABCD , w którym |BC | = 4 i |CD | = 5 , jest opisany na okręgu. Przekątna AC tego czworokąta tworzy z bokiem BC kąt o mierze 60∘ , natomiast z bokiem AB – kąt ostry, którego sinus jest równy 1 4 . Oblicz obwód czworokąta ABCD .

Zadanie 9
(4 pkt)

Rozwiąż nierówność √ --2--------- 25 √ -2---------- x + 4x + 4 < 3 − x − 6x + 9 .

Zadanie 10
(4 pkt)

Określamy kwadraty K 1, K 2, K 3, ... następująco:

  • K 1 jest kwadratem o boku długości a

  • K2 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K 1 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3

  • K 3 jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu K 2 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3

i ogólnie, dla każdej liczby naturalnej n ≥ 2 ,

  • Kn jest kwadratem, którego każdy wierzchołek leży na innym boku kwadratu Kn −1 i dzieli ten bok w stosunku 1 : 3.

Obwody wszystkich kwadratów określonych powyżej tworzą nieskończony ciąg geometryczny. Na rysunku przedstawiono kwadraty utworzone w sposób opisany powyżej.

ZINFO-FIGURE

Oblicz sumę wszystkich wyrazów tego nieskończonego ciągu.

Zadanie 11
(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru m ⁄= 2 , dla których równanie

x2 + 4x− m-−--3 = 0 m − 2

ma dwa różne rozwiązania rzeczywiste x1,x 2 spełniające warunek x13+ x 32 > − 28 .

Zadanie 12
(6 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem

√ --- log3x 2⋅log-2--27-⋅log32- 2 f(x ) = 81 + 3 ⋅x − 6x

dla każdej liczby dodatniej x .

  • Wykaż, że dla każdej liczby dodatniej x wzór funkcji f można równoważnie przekształcić do postaci f(x ) = x4 + x2 − 6x .

  • Oblicz najmniejszą wartość funkcji f określonej dla każdej liczby dodatniej x .

Zadanie 13
(6 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) prosta l o równaniu x − y − 2 = 0 przecina parabolę o równaniu y = 4x 2 − 7x + 1 w punktach A oraz B . Odcinek AB jest średnicą okręgu O . Punkt C leży na okręgu O nad prostą l , a kąt BAC jest ostry i ma miarę α taką, że 1 tg α = 3 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz współrzędne punktu C .

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania