/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony
(technikum) 28 marca 2015 Czas pracy: 180 minut

Zadanie 1
(4 pkt)

Która z liczb jest większa: 102013+1 102014+1 , czy 102014+ 1 102015+-1 ?

Zadanie 2
(4 pkt)

Dany jest trapez prostokątny ABCD o podstawach AB i CD , w którym boki AB i BC są prostopadłe. Dwusieczne kątów A i D przecinają się w punkcie S leżącym na boku BC . Wykaż, że |BS | = |SC | .

Zadanie 3
(4 pkt)

Rozwiąż nierówność |2x + 2|+ |x− 2| > 5 .

Zadanie 4
(3 pkt)

Naszkicuj wykresy funkcji √ -- f(x) = 1+ log 3( 3x) i √ - g(x) = lo g5 5-x5 , gdzie x ∈ (0,+ ∞ ) . Odczytaj z wykresów zbiór rozwiązań nierówności f(x) ≤ g(x) .

Zadanie 5
(4 pkt)

Wyznacz wszystkie liczby naturalne dodatnie k , dla których równanie x2 + x+ 1 = k2 ma pierwiastki będące liczbami całkowitymi.

Zadanie 6
(4 pkt)

Reszta z dzielenia wielomianu P(x ) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 1 przez dwumian (x − 3) jest równa 1. Wykaż, że jeżeli liczby a,b ,c,d są liczbami całkowitymi to wielomian P (x) nie ma pierwiastków wymiernych.

Zadanie 7
(6 pkt)

W trójkącie prostokątnym ABC przyprostokątne mają długości √ --- |BC | = 8, |CA | = 1 7 . Na boku AB wybrano punkt D tak, że |AD | = 2 . Oblicz sinus kąta DCA .

Zadanie 8
(3 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest prostokąt ABCD , a krawędź boczna SA jest jego wysokością. Wykaż, że suma kwadratów pól ścian ABS i BCS jest równa sumie kwadratów pól ścian ADS i DCS .

Zadanie 9
(4 pkt)

Z punktu A = (17 ,1 6) poprowadzono styczne do okręgu o równaniu (x + 3)2 + (y − 1)2 = 1 25 . Oblicz długość odcinka łączącego punkty styczności.

Zadanie 10
(3 pkt)

Wykaż, że jeżeli A,B są podzbiorami Ω oraz P(A ) < 4 ,P (A ∩ B ) > 3 7 8 , to P (A ∩ B ′) < 1 5 .

Zadanie 11
(5 pkt)

Rozwiąż równanie 2 sin2x+(√ 3− 1)sin2x √ -- ------1+cos2x----- = 3 .

Zadanie 12
(6 pkt)

W stożek o promieniu podstawy długości 6 wpisano walec, w ten sposób, że jedna podstawa walca zawiera się w podstawie stożka, a brzeg jego drugiej podstawy zawiera się w powierzchni bocznej stożka. Oblicz promień podstawy walca, jeżeli jego objętość stanowi 4 9 objętości stożka.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania