/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom podstawowy 25 lutego 2017 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba x jest przybliżeniem z niedomiarem liczby 54 . Błąd względny tego przybliżenia jest równy 2%. Liczba x jest równa
A) 1,225 B) 1,6125 C) 1,2 D) 1,265

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba ∘4-√3--- 2 2 jest równa
A) √ -- 12 2 B) √ -- 62 C) √ -- 3 2 D) √ -- 72

Zadanie 3
(1 pkt)

Liczby a i c są dodatnie. Liczba b stanowi 96% liczby 2a + b oraz 64% liczby 5a + c . Wynika stąd, że
A) c = 1 ,5a B) c = 70a C) c = 14a D) c = 4 8a

Zadanie 4
(1 pkt)

Liczba log41024 log3243 jest równa
A) log 3781 B) 1024- lo g12 243 C) 54 D) 1

Zadanie 5
(1 pkt)

Najmniejsza wartość wyrażenia x 6 − 2x 3y3 + y6 dla x ,y ∈ {− 2,− 1,0,1,2} jest równa
A) 2 B) − 4 C) 0 D) − 8

Zadanie 6
(1 pkt)

Punkty ABCD leżą na okręgu o środku S (zobacz rysunek). Miara kąta BDC jest równa

PIC

A) 58∘ B) 8 7∘ C) 29∘ D) 32∘

Zadanie 7
(1 pkt)

W ciągu geometrycznym rosnącym pierwszy wyraz jest równy (−1 6) , a siódmy wyraz jest równy ( ) − 1 4 . Kwadrat czwartego wyrazu jest równy
A) − 2 B) 4 C) ( ) 61 2 8 D) ( 65)2 8

Zadanie 8
(1 pkt)

Rozwiązaniem równania 2x−a-= 5 x+a jest x = 1 2 . Zatem
A) 3 a = − 8 B) 7- a = 12 C) a = − 14 D) a = − 78

Zadanie 9
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiony jest fragment wykresu funkcji liniowej f , przy czym f (0) = − 2 i f(− 4) = 0 .

PIC

Wykres funkcji g jest symetryczny do wykresu funkcji f względem prostej y = x . Funkcja g jest określona wzorem
A) g(x ) = 2x + 4 B) g (x) = 2x − 4 C) g(x ) = − 2x+ 4 D) g (x ) = − 2x − 4

Zadanie 10
(1 pkt)

Jeśli funkcja kwadratowa 2 f (x) = −x + 2x + 3a nie ma ani jednego miejsca zerowego, to liczba a spełnia warunek
A) a < − 13 B) 0 < a ≤ 1 C) − 1 < a ≤ 0 3 D) a > − 1 3

Zadanie 11
(1 pkt)

Układ równań { 2x− 3y = − 5 −4x + 6y = − 10.
A) nie ma rozwiązań
B) ma dokładnie jedno rozwiązanie
C) ma dokładnie dwa rozwiązania
D) ma nieskończenie wiele rozwiązań

Zadanie 12
(1 pkt)

Funkcja f określona jest wzorem f(x ) = -28x8+-25x112 x +2x +x dla każdej liczby rzeczywistej x . Wtedy liczba √3 -- f (− 5) jest równa
A) 504 B) − 1225 C) − 25 2 D) 50 6

Zadanie 13
(1 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem an = 4 (n− 18) dla n ≥ 1 . Suma dziesięciu początkowych wyrazów tego ciągu jest równa
A) − 116 B) − 50 0 C) − 164 D) − 260

Zadanie 14
(1 pkt)

Wartość wyrażenia (tg 120∘ + tg13 5∘)2 − sin 120∘ jest równa
A) 3√-3 2 − 2 B) √-3 2 + 2 C) √ - 4 + 3--3 2 D) √- 4 − -3- 2

Zadanie 15
(1 pkt)

Kąt rozwarcia stożka ma miarę 90∘ , a tworząca tego stożka ma długość 8. Promień podstawy stożka jest równy
A) √ -- 8 2 B) 4 C) √ -- 2 2 D) √ -- 4 2

Zadanie 16
(1 pkt)

Przekątna równoległoboku dzieli go na dwa trójkąty równoramienne (zobacz rysunek).

PIC

Pole tego równoległoboku jest równe
A) 16 B) 32 C) √ -- 32 3 D) 32√ 2-

Zadanie 17
(1 pkt)

Przedstawione na rysunku trójkąty ABC i PQR są podobne. Bok AB trójkąta ABC ma długość

PIC

A) 14 B) 16 C) 1313 D) 12

Zadanie 18
(1 pkt)

Gdy przesuniemy wykres funkcji f(x) = 3x− 2 o 3 jednostki w prawo i 2 jednostki w górę, to otrzymamy wykres funkcji opisanej wzorem
A) y = 3x − 9 B) y = 3x − 13 C) y = 3x + 9 D) y = 3x+ 5

Zadanie 19
(1 pkt)

Wśród podanych poniżej nierówności wskaż tę, której zbiorem rozwiązań jest przedział (− 3,1) .
A) x(x + 2 ) < 3 B) x(x + 4) < 1 C) x(x + 3 ) < 1 D) x(x+ 1) < 3

Zadanie 20
(1 pkt)

Przekątne deltoidu są zawarte w prostych o równaniach -2m-- 4 y = 1−m 3x + m − 2 oraz 2 --1-- y = m x + m 2+ 1 . Zatem
A) m = 1 B) √ -- m = 3 2 C) m = √1- 33 D) m = − 1

Zadanie 21
(1 pkt)

Rzucamy dwa razy sześcienną kostką do gry. Niech p oznacza prawdopodobieństwo tego, że iloczyn liczb otrzymanych oczek dzieli się przez 6. Wtedy
A) 0 ≤ p < 0,25 B) 0,25 ≤ p ≤ 0,4 C) 0,4 < p ≤ 0,5 D) p > 0,5

Zadanie 22
(1 pkt)

Okręgi o środkach S = (2,14) 1 oraz S = (12 ,− 1 0) 2 i równych promieniach są styczne zewnętrznie. Promień każdego z tych okręgów jest równy
A) 26 B) 13 C) 13 4 D) 132

Zadanie 23
(1 pkt)

Wszystkich par (a,b) takich, że a ∈ { 1,2,3,4,5,6,7} , b ∈ {1,2,3,4 ,5,6,7,8,9} oraz suma a + b jest podzielna przez 3, jest
A) mniej niż 21 B) dokładnie 21 C) dokładnie 22 D) więcej niż 22

Zadanie 24
(1 pkt)

Przekątna podstawy ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy dłuższa od wysokości ostrosłupa. Ostrosłup przecięto płaszczyzną przechodzącą przez przekątną podstawy i środek jednej z krawędzi bocznych (patrz rysunek).

PIC

Płaszczyzna przekroju tworzy z podstawą ostrosłupa kąt α o mierze
A) 75∘ B) 6 0∘ C) 45∘ D) 30∘

Zadanie 25
(1 pkt)

Punkt A = (1 ,5 ) jest wierzchołkiem kwadratu ABCD , a punkt S = (5,3) jest środkiem okręgu opisanego na tym kwadracie. Bok tego kwadratu ma długość
A) √ --- 2 1 0 B) √ --- 2 2 0 C) √ --- 10 D) √ --- 2 0

Zadania otwarte

Zadanie 26
(2 pkt)

W trapezie ABCD o podstawach AB i CD przekątne AC oraz BD przecinają się w punkcie S . Wykaż, że jeżeli |AS | = 4|AC | 5 , to pole trójkąta ABS jest 16 razy większe od pola trójkąta DCS .

Zadanie 27
(2 pkt)

Rozwiąż równanie 2 (3 − x)(x − x − 2 0) = 0 .

Zadanie 28
(2 pkt)

Wykaż, że dla dowolnych liczb rzeczywistych x,y prawdziwa jest nierówność

3 2 3 2 (9x y − 24x y+ 16xy )(9xy − 24xy + 1 6xy) ≥ 0.

Zadanie 29
(2 pkt)

Oblicz prawdopodobieństwo tego, że losowo wybrana liczba trzycyfrowa ma cyfrę setek mniejszą od cyfry dziesiątek, a cyfrę jedności równą cyfrze setek.

Zadanie 30
(2 pkt)

Kąt α jest ostry i (sin α+ cosα )2 = 43 . Oblicz wartość wyrażenia sinα cos α .

Zadanie 31
(2 pkt)

Poziom natężenia dźwięku w decybelach jest opisany wzorem L = 10 lo g II- 0 , gdzie I jest natężeniem dźwięku wyrażonym w 2 W/m , a − 12 2 I0 = 10 W/m jest stałą nazwaną natężeniem dźwięku odniesienia. Poziom natężenia szeptu wynosi 20 dB, a odpowiadające mu natężenie I1 jest 10000 razy mniejsze niż natężenie I2 pracującego odkurzacza. Oblicz poziom natężenia dźwięku w decybelach pracującego odkurzacza.

Zadanie 32
(4 pkt)

Na rysunku przedstawione są dwa wierzchołki trójkąta prostokątnego ABC : A = (− 7,− 1) i B = (5 ,5) oraz prosta o równaniu 1 3 y = 4x + 4 , zawierająca przeciwprostokątną AC tego trójkąta.

PIC

Oblicz współrzędne wierzchołka C tego trójkąta i długość odcinka AC .

Zadanie 33
(5 pkt)

Dany jest ciąg arytmetyczny (an) określony dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 , w którym suma pierwszych 50 wyrazów jest równa 9 900, a suma wyrazów o numerach od 41 do 70 (włącznie) jest równa 540. Oblicz sumę wszystkich dodatnich wyrazów tego ciągu.

Zadanie 34
(4 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym ściana boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem ∘ 60 , a krawędź boczna ostrosłupa ma długość √ -- 5 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania