/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom podstawowy 27 lutego 2016 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Wartość wyrażenia √----- −1 -3−-729⋅9-2 ⋅3−1 3 jest równa
A) 1 − 3 B) 1 3 C) 1 D) − 1

Zadanie 2
(1 pkt)

Jeżeli √ -- √ -- a = 2log( 3 + 2) + 2 lo g(6− 3 3) to a 10 0 jest liczbą
A) ujemną B) nieparzystą C) niewymierną D) parzystą

Zadanie 3
(1 pkt)

Kwotę 1000 zł ulokowano w banku na roczną lokatę oprocentowaną w wysokości 4% w stosunku rocznym. Po każdym kwartale środki zgromadzone na lokacie są powiększane o odsetki, od których odprowadzany jest podatek w wysokości 19%. Maksymalna kwota, jaką po upływie roku będzie można wypłacić z banku, jest równa
A) 100 0⋅(1,0 081)4 B) 1000 ⋅(1,03 24)4 C) 4 1000 ⋅(1,00 2025) D) 10 00⋅(1 ,81)4

Zadanie 4
(1 pkt)

Wyrażenie 2a2 − 8ab2 + 8b4 może być przekształcone do postaci
A) 2(a2 − b2)2 B) 2(a − 2b 2)2 C) 2 2(a − 2b) D) 2 2(a+ 2b)

Zadanie 5
(1 pkt)

Iloczyn dwóch liczb dodatnich, z których jedna jest o 11 większa od drugiej jest równy 350. Suma tych liczb jest równa
A) 39 B) 14 C) 25 D) 37

Zadanie 6
(1 pkt)

Na jednym z poniższych rysunków przedstawiono interpretację geometryczną układu równań ( | x− 3y = 3 { | 2y − 3x = 6 ( 3y + x = − 6 Wskaż ten rysunek.

PIC

Zadanie 7
(1 pkt)

Równanie x+1- 1−x = x + 1
A) ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = 1 .
B) ma dokładnie dwa rozwiązania: x = 0, x = − 1 .
C) ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = − 1 .
D) ma dokładnie jedno rozwiązanie: x = 0 .

Zadanie 8
(1 pkt)

Wyrażenie 1 + sin2α tg2α − tg 2α może być przekształcone do postaci
A) 1 B) 0 C) 2 cos α D) 2 1 + sin α

Zadanie 9
(1 pkt)

Suma kwadratów czterech początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego o pierwszym wyrazie a1 i różnicy r wyraża się wzorem
A) (a1 + r)2 ⋅4 B) (a1 + r)2 ⋅6 C) 4a2 + 12a1r + 14r2 1 D) 4a2+ 10a1r+ 14r2 1

Zadanie 10
(1 pkt)

Wykresy funkcji f (x) = a + 2x i g (x ) = − 4x + 3 przecinają oś Ox w dwóch różnych punktach. Stąd wynika, że
A) a ⁄= −4 B) 3 a ⁄= − 2 C) a ⁄= − 34 D) a ⁄= − 23

Zadanie 11
(1 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem f(x ) = 3− 4x dla każdej liczby z przedziału ⟨− 2,2⟩ . Zbiorem wartości tej funkcji jest przedział
A) ⟨− 11,5⟩ B) (− 11,5⟩ C) ⟨− 5,11⟩ D) (− 5,11⟩

Zadanie 12
(1 pkt)

Wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji kwadratowej y = f(x ) ma współrzędne (2,2) . Wówczas wierzchołek paraboli będącej wykresem funkcji g(x) = f(x − 2) ma współrzędne
A) (4,2) B) (0,2 ) C) (2,0) D) (2,4)

Zadanie 13
(1 pkt)

Ciąg geometryczny (a ) n jest określony wzorem n an = 3 dla n ≥ 1 . Suma dziewięciu początkowych kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa
A) 32(1 − 3 9) B) 32(1 + 39) C) − 3(1 − 39) 2 D) − 3(1 + 39) 2

Zadanie 14
(1 pkt)

Tangens kąta α zaznaczonego na rysunku jest równy

PIC

A) √ -- − -3193 B) − 32 C) − 2 3 D) 3 2

Zadanie 15
(1 pkt)

Na prostej o równaniu y = ax+ b leżą punkty K = (− 1,0) i L = (0,− 1) . Wynika stąd, że
A) a = − 1 i b = 1 B) a = 1 i b = − 1 C) a = − 1 i b = − 1 D) a = 1 i b = 1

Zadanie 16
(1 pkt)

W trójkącie ABC , w którym |AC | = |BC | , na boku AB wybrano punkt D taki, że |BD | = |CD | oraz |∡ACD | = 27∘ (zobacz rysunek).

PIC

Wynika stąd, że kąt BCD ma miarę
A) 57∘ B) 5 3∘ C) 51∘ D) 55∘

Zadanie 17
(1 pkt)

Punkty A ,B ,C ,D ,E okręgu są wierzchołkami pięciokąta foremnego. Miara zaznaczonego na rysunku kąta wpisanego ACE jest równa

PIC

A) 7 2∘ B) 36∘ C) 14 4∘ D) 38 ∘

Zadanie 18
(1 pkt)

Prosta l o równaniu y = −m 2x + 5 jest równoległa do prostej k o równaniu y = (4m + 4)x − 5 . Zatem
A) m = 2 B) m = − 2 C) √ -- m = − 2 − 2 2 D) √ -- m = 2 + 2 2

Zadanie 19
(1 pkt)

Pole równoległoboku o bokach długości 6 i 8 oraz kącie rozwartym ∘ 150 jest równe
A) √ -- 24 3 B) 48 C) √ -- 48 3 D) 24

Zadanie 20
(1 pkt)

Punkt S = (1,− 6) jest środkiem odcinka AB , gdzie A = (− 3,7) i B = (5,b) . Wtedy
A) b = −5 B) b = − 10 C) b = 5 D) b = −1 9

Zadanie 21
(1 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45 ∘ , a wysokość ostrosłupa jest równa 6. Wysokość podstawy tego ostrosłupa ma długość
A) √ -- 6 3 B) 9 C) 12 D) √ -- 4 3

Zadanie 22
(1 pkt)

Przekrojem osiowym stożka o objętości √ -- 9π 3 jest trójkąt równoboczny. Obwód tego trójkąta jest równy
A) √ -- 3 3 B) √ -- 9 3 C) 18 D) 6

Zadanie 23
(1 pkt)

Średnia arytmetyczna wszystkich wyrazów 100-wyrazowego ciągu arytmetycznego (an) jest równa 37, a różnica tego ciągu jest równa (− 6) . Pierwszy wyraz ciągu (an ) jest równy
A) 594 B) 520 C) 260 D) 334

Zadanie 24
(1 pkt)

Liczba sześcianów liczb całkowitych w zbiorze kolejnych liczb naturalnych

{2 000,2001,2 002,...,4000 }

jest równa
A) 3 B) 4 C) 5 D) 8

Zadanie 25
(1 pkt)

Na loterię przygotowano pulę 200 losów, w tym 4 wygrywające. Po wylosowaniu pewnej liczby losów, wśród których były dokładnie dwa wygrywające, szansa na wygraną była taka sama jak przed rozpoczęciem loterii. Stąd wynika, że wylosowano
A) 8 losów. B) 40 losów. C) 100 losów. D) 50 losów.

Zadania otwarte

Zadanie 26
(2 pkt)

Rozwiąż równanie (3x−1)3 = ---x3-- x3 (3x−1)3 , gdzie x ⁄= 0 i x ⁄= 1 3 .

Zadanie 27
(2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y prawdziwa jest nierówność 2 2 3x − 6xy + 5y ≥ 0 .

Zadanie 28
(2 pkt)

W prostokącie ABCD punkt P jest środkiem boku AD , a punkt R jest środkiem boku AB . Wykaż, że pole trójkąta P RC jest równe sumie pól trójkątów AP R oraz P DC .

PIC

Zadanie 29
(2 pkt)

Na podstawie przedstawionego fragmentu wykresu funkcji kwadratowej wyznacz jej wzór.

PIC

Zadanie 30
(2 pkt)

Liczby 7,2x + 6,x + 26 w podanej kolejności są pierwszym, drugim i trzecim wyrazem pewnego ciągu arytmetycznego. Oblicz różnicę r tego ciągu.

Zadanie 31
(2 pkt)

Każdy z trojga chłopców pomyślał sobie liczbę dwucyfrową. Jakie jest prawdopodobieństwo, że żadne dwie z tych osób nie pomyślały tej samej liczby? Wynik podaj w postaci ułamka nieskracalnego.

Zadanie 32
(4 pkt)

Wyznacz równanie symetralnej przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego o wierzchołkach A = (10 ,− 2 ), B = (9,4), C = (− 3,2) .

Zadanie 33
(5 pkt)

Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest równa 16. Krawędź boczna jest nachylona do płaszczyzny jego podstawy pod kątem, którego cosinus jest równy 3 5 . Oblicz pole powierzchni całkowitej tego ostrosłupa.

Zadanie 34
(4 pkt)

Wojtek ułożył z drewnianych sześciennych klocków kwadrat (kładąc klocki jeden obok drugiego) i zostały mu 23 klocki. Następnie spróbował ułożyć kwadrat o boku o 1 klocek większym niż poprzedni i zabrakło mu 8 klocków. Ile klocków miał Wojtek?

PIC

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania