/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki (termin dodatkowy)
formuła 2015
poziom rozszerzony 2 czerwca 2023 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1

(1 pkt)

Wartość wyrażenia lo g√2 3⋅log √32 jest równa
A) 1 4 B) C) D) 4

Zadanie 2

(1 pkt)

Dany jest trójkąt o bokach długości 4, 5 oraz 6. Cosinus największego kąta wewnętrznego tego trójkąta jest równy
A) 1 8 B) 9 16 C) 3 4 D) ( ) − 34

Zadanie 3

(1 pkt)

Reszta z dzielenia wielomianu W (x) = 5x3 − 3x2 + 2x − 7 przez dwumian x+ 2 jest równa
A) (− 63) B) (− 39 ) C) 25 D) 41

Zadanie 4

(1 pkt)

Funkcja jest określona dla każdej liczby rzeczywistej . Fragment wykresu funkcji przedstawiono na poniższym rysunku.

ZINFO-FIGURE

Funkcja jest określona wzorem ( ) g (x) = f 12x dla każdej liczby rzeczywistej . Wskaż rysunek, na którym przedstawiony jest wykres funkcji .

ZINFO-FIGURE

Zadania otwarte

Zadanie 5

(2 pkt)

Oblicz granicę

3 lim --4n--−--2n-+-1---. n→+ ∞ 3n3 − n2 − 2n + 3

Zadanie 6

(3 pkt)

Funkcja jest określona wzorem f(x ) = 2x3 − 4x2 + 9x dla każdego x ∈ R . Punkt P = (x0,18) należy do wykresu funkcji . Oblicz oraz wyznacz równanie stycznej do wykresu funkcji w punkcie .

Zadanie 7

(3 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej prawdziwa jest nierówność

a2 + 16-≥ 12. a

Zadanie 8

(3 pkt)

Dany jest okrąg . Przez punkt poprowadzono dwie proste, które są styczne do tego okręgu w punktach – odpowiednio – oraz . Przez punkt leżący na odcinku poprowadzono styczną do tego okręgu w punkcie , która przecięła odcinek w punkcie (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wykaż, że jeżeli |AQ | = 5 ⋅|BP | oraz |CD | = 2 ⋅|BD | , to trójkąt ABC jest równoramienny.

Zadanie 9

(4 pkt)

Dany jest nieskończony szereg geometryczny

2x − -6x---+ ---18x---− --54x---+ ... x − 1 (x − 1 )2 (x− 1)3

Wyznacz wszystkie wartości zmiennej (różnej od 0 i od 1), dla których suma tego szeregu istnieje i jest równa 15 2 .

Zadanie 10

(4 pkt)

Rozwiąż równanie sin 5x + cos x = 0 w zbiorze [− π-, π] 2 2 .

Zadanie 11

(4 pkt)

W pudełku umieszczono kul ( n ≥ 3 ) wśród których dokładnie 2 kule są czarne, a pozostałe kule są białe. Z tego pudełka losujemy jedną kulę i odkładamy ją na bok. Jeżeli wylosowana kula jest biała, to do pudełka wrzucamy kulę czarną, a gdy wylosowana kula jest czarna, to do pudełka wrzucamy kulę białą. Po przeprowadzonej w ten sposób zmianie zawartości prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej z tego pudełka jest równe 37 50 . Oblicz .

Zadanie 12

(5 pkt)

Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie

mx 2 − (m + 1 )x− 2m + 3 = 0

ma dokładnie dwa różne rozwiązania rzeczywiste oraz , spełniające warunki:

1 1 x1 ⁄= 0, x2 ⁄= 0 oraz -2+ -2-< 1. x1 x2

Zadanie 13

(5 pkt)

Czworokąt wypukły ABCD jest wpisany w okrąg o promieniu 4. Kąty BAD i BCD są proste (zobacz rysunek). Przekątne i tego czworokąta przecinają się w punkcie tak, że |BE | = 3⋅|DE | oraz |BD | = 2⋅ |AE | .

ZINFO-FIGURE

Oblicz długości boków czworokąta ABCD .

Zadanie 14

(6 pkt)

Rozważamy wszystkie graniastosłupy prawidłowe czworokątne ABCDEF GH , w których odcinek łączący punkt przecięcia przekątnych i podstawy ABCD z dowolnym wierzchołkiem podstawy EF GH ma długość (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wyznacz zależność objętości graniastosłupa od jego wysokości i podaj dziedzinę funkcji .
Wyznacz wysokość tego z rozważanych graniastosłupów, którego objętość jest największa.

Zadanie 15

(7 pkt)

Okrąg o środku w punkcie jest określony równaniem (x− 6)2 + (y+ 1)2 = 16 . Okrąg ma środek w punkcie takim, że −→ S1S2 = [− 4,4] . Promienie tych okręgów są sobie równe. Figura składa się z dwóch okręgów: oraz . Punkty i są punktami przecięcia ﬁgury z tą z jej osi symetrii, która jest prostą o dodatnim współczynniku kierunkowym. Wyznacz punkt , leżący na jednej z osi symetrii ﬁgury , taki, że pole trójkąta MNK jest równe 40.