/Szkoła średnia

Zadanie nr 4515206

Dodaj do ulubionych
Dodaj do rozwiązanych

Dany jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AC | = |BC | . Na podstawie AB tego trójkąta leży punkt D , taki że |AD | = |CD | , |BC | = |BD | oraz ∡BCD = 72∘ (zobacz rysunek).

PIC

Wynika stąd, że kąt ACD ma miarę
A) 38∘ B) 3 6∘ C) 42∘ D) 40∘

Rozwiązanie

Wiemy, że trójkąty ACD i ABC są równoramienne,

PIC

więc jeżeli oznaczymy α = ∡ACD , to

∡ABC = ∡BAC = ∡ACD = α.

Sposób I

Suma kątów w trójkącie ABC jest równa ∘ 180 , więc

180∘ = α + α + α + 7 2∘ = 3α + 72∘ ∘ 108 = 3α ⇒ α = 36 .

Sposób II

Wiemy, że trójkąt DBC jest równoramienny, więc

∡BDC = ∡BCD = 72∘ ∘ ∘ ∘ α = ∡DBC = 180 − 2 ⋅72 = 36 .

Sposób III

Tak jak poprzednio zauważamy, że ∡BDC = ∡BCD = 72∘ . Stąd

∡ADC = 180 ∘ − ∡BDC = 18 0∘ − 72∘ = 108∘.

Patrzymy teraz na trójkąt równoramienny ADC .

∘ ∘ ∘ α = 180--−-∡ADC----= 180--−-108--= 36∘. 2 2

 
Odpowiedź: B

Wersja PDF