/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom podstawowy
(formuła 2015) 8 maja 2023 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1

(1 pkt)

Liczba log 27 + log 3 9 9 jest równa
A) 81 B) 9 C) 4 D) 2

Zadanie 2

(1 pkt)

Liczba ∘ ----- √ -- 3− 27 ⋅ 32 16 jest równa
A) ( 3) − 2 B) 3 2 C) 2 3 D) ( ) − 23

Zadanie 3

(1 pkt)

Cenę aparatu fotograﬁcznego obniżono o 15%, a następnie – o 20% w odniesieniu do ceny obowiązującej w danym momencie. Po tych dwóch obniżkach aparat kosztuje 340 zł. Przed obiema obniżkami cena tego aparatu była równa
A) 500 zł B) 425 zł C) 400 zł D) 375 zł

Zadanie 4

(1 pkt)

Dla każdej liczby rzeczywistej wyrażenie 2 2 (2a − 3) − (2a + 3) jest równe
A) − 24a B) 0 C) 18 D) 2 16a − 24a

Zadanie 5

(1 pkt)

Na rysunku przedstawiono geometryczną interpretację jednego z niżej zapisanych układów równań.

ZINFO-FIGURE

Układem równań, którego interpretację geometryczną przedstawiono na rysunku, jest
A) { y = −x + 2 y = − 2x + 1 B) { y = x − 2 y = − 2x − 1 C) { y = x− 2 y = 2x + 1 D) { y = −x + 2 y = 2x − 1

Zadanie 6

(1 pkt)

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności

2-−-x- − 2 (x + 3) ≤ 3

jest przedział
A) (− ∞ ,− 4] B) (− ∞ ,4] C) [− 4,+ ∞ ) D) [4,+ ∞ )

Zadanie 7

(1 pkt)

Jednym z rozwiązań równania √ -- 2 3 (x − 2)(x+ 3) = 0 jest liczba
A) 3 B) 2 C) √ -- 3 D)

Zadanie 8

(1 pkt)

Równanie

(x-+-1)(x-−-1-)2- (x − 1)(x + 1 )2 = 0

w zbiorze liczb rzeczywistych
A) nie ma rozwiązania.
B) ma dokładnie jedno rozwiązanie − 1 .
C) ma dokładnie jedno rozwiązanie 1.
D) ma dokładnie dwa rozwiązania − 1 oraz 1.

Zadanie 9

(1 pkt)

Miejscem zerowym funkcji liniowej f (x) = (2p − 1 )x+ p jest liczba (− 4) . Wtedy
A) p = 4 9 B) p = 4 7 C) p = −4 D) 4 p = − 7

Zadanie 10

(1 pkt)

Funkcja liniowa jest określona wzorem f(x) = ax+ b , gdzie i są pewnymi liczbami rzeczywistymi. Na rysunku obok przedstawiono fragment wykresu funkcji w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) .

ZINFO-FIGURE

Liczba oraz liczba we wzorze funkcji spełniają warunki:
A) a > 0 i b > 0 B) a > 0 i b < 0 C) a < 0 i b > 0 D) a < 0 i b < 0

Informacja do zadań 11 – 13

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) narysowano wykres funkcji y = f(x ) (zobacz rysunek).

Zadanie 11

(1 pkt)

Dziedziną funkcji jest zbiór
A) [− 6,5] B) (− 6,5) C) (− 3,5] D) [− 3,5 ]

Zadanie 12

(1 pkt)

Funkcja jest malejąca w zbiorze
A) [− 6,− 3) B) [− 3,1] C) (1,2] D) [2,5]

Zadanie 13

(1 pkt)

Największa wartość funkcji w przedziale [− 4,1] jest równa
A) 0 B) 1 C) 2 D) 5

Zadanie 14

(1 pkt)

Jednym z miejsc zerowych funkcji kwadratowej jest liczba (− 5) . Pierwsza współrzędna wierzchołka paraboli, będącej wykresem funkcji , jest równa 3. Drugim miejscem zerowym funkcji jest liczba
A) 11 B) 1 C) (− 1) D) (− 13)

Zadanie 15

(1 pkt)

Ciąg (an) jest określony wzorem n an = 2 ⋅(n + 1 ) dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Wyraz jest równy
A) 64 B) 40 C) 48 D) 80

Zadanie 16

(1 pkt)

Trzywyrazowy ciąg (27 ,9 ,a− 1 ) jest geometryczny. Liczba jest równa
A) 3 B) 0 C) 4 D) 2

Zadanie 17

(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) zaznaczono kąt o wierzchołku w punkcie O = (0,0) . Jedno z ramion tego kąta pokrywa się z dodatnią półosią , a drugie przechodzi przez punkt P = (− 3,1) (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Tangens kąta jest równy
A) √-1- 10 B) ( ) − √-3- 10 C) (− 3) 1 D) ( ) − 1 3

Zadanie 18

(1 pkt)

Dla każdego kąta ostrego wyrażenie 4 2 2 sin α + sin α ⋅co s α jest równe
A) B) 6 2 sin α ⋅cos α
C) sin4 α+ 1 D) sin2 α⋅ (sin α + cos α)⋅(sin α− cosα )

Zadanie 19

(1 pkt)

Punkty A ,B ,C leżą na okręgu o środku w punkcie . Kąt ACO ma miarę 70∘ (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Miara kąta ostrego ABC jest równa
A) 10∘ B) 2 0∘ C) 35∘ D) 40∘

Zadanie 20

(1 pkt)

W rombie o boku długości √ -- 6 2 kąt rozwarty ma miarę 150 ∘ . Iloczyn długości przekątnych tego rombu jest równy
A) 24 B) 72 C) 36 D) √ -- 36 2

Zadanie 21

(1 pkt)

Przez punkty i , leżące na okręgu o środku , poprowadzono proste styczne do tego okręgu, przecinające się w punkcie (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Miara kąta ACB jest równa
A) 20∘ B) 3 5∘ C) 40∘ D) 70∘

Zadanie 22

(1 pkt)

Dany jest trójkąt ABC , w którym |BC | = 6 . Miara kąta ACB jest równa 150∘ (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Wysokość trójkąta ABC opuszczona z wierzchołka jest równa
A) 3 B) 4 C) √ -- 3 3 D) 4√ 3-

Zadanie 23

(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dana jest prosta o równaniu y = − 1x+ 2 3 . Prosta o równaniu y = ax + b jest równoległa do prostej i przechodzi przez punkt P = (3,5) , gdy
A) a = 3 i b = 4 B) 1 a = − 3 i b = 4 C) a = 3 i b = − 4 D) a = − 1 3 i b = 6

Zadanie 24

(1 pkt)

Dane są punkty K = (− 3,− 7) oraz S = (5,3) . Punkt jest środkiem odcinka . Wtedy punkt ma współrzędne
A) (13,10 ) B) (13,13) C) (1,− 2) D) (7,− 1)

Zadanie 25

(1 pkt)

Dana jest prosta o równaniu y = 2x − 3 . Obrazem tej prostej w symetrii środkowej względem początku układu współrzędnych jest prosta o równaniu
A) y = 2x + 3 B) y = − 2x − 3 C) y = − 2x + 3 D)

Zadanie 26

(1 pkt)

Dany jest graniastosłup prawidłowy czworokątny, w którym krawędź podstawy ma długość 15. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod takim, że √- -2- co sα = 3 . Długość przekątnej tego graniastosłupa jest równa
A) √ -- 15 2 B) 45 C) √ -- 5 2 D) 10

Zadanie 27

(1 pkt)

Średnia arytmetyczna liczb x, y , z jest równa 4. Średnia arytmetyczna czterech liczb:

1+ x, 2 + y, 3 + z, 1 4,

jest równa
A) 6 B) 9 C) 8 D) 13

Zadanie 28

(1 pkt)

Wszystkich liczb naturalnych pięciocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym występują tylko cyfry 0, 5, 7, jest
A) 3 5 B) 3 2 ⋅4 C) 2 ⋅34 D)

Zadanie 29

(1 pkt)

W pewnym ostrosłupie prawidłowym stosunek liczby wszystkich wierzchołków do liczby wszystkich krawędzi jest równy WK-= 35 . Podstawą tego ostrosłupa jest
A) kwadrat. B) pięciokąt foremny.
C) sześciokąt foremny. D) siedmiokąt foremny.

Zadania otwarte

Zadanie 30

(2 pkt)

Rozwiąż nierówność: x (x − 2) > 2x2 − 3 .

Zadanie 31

(2 pkt)

Pan Stanisław spłacił pożyczkę w wysokości 8910 zł w osiemnastu ratach. Każda kolejna rata była mniejsza od poprzedniej o 30 zł. Oblicz kwotę pierwszej raty.

Zadanie 32

(2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= 1 i dla każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność

2 2 x + y + 5 > 2x + 4y .

Zadanie 33

(2 pkt)

Trójkąty prostokątne i są podobne. Przyprostokątne trójkąta mają długości 5 i 12. Przeciwprostokątna trójkąta T 2 ma długość 26. Oblicz pole trójkąta .

Zadanie 34

(2 pkt)

W kwadracie ABCD punkty A = (− 8,− 2) oraz C = (0,4 ) są końcami przekątnej. Wyznacz równanie prostej zawierającej przekątną tego kwadratu.

Zadanie 35

(2 pkt)

Ze zbioru ośmiu liczb {2 ,3,4,5,6,7,8,9} losujemy ze zwracaniem kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że iloczyn wylosowanych liczb jest podzielny przez 15.

Zadanie 36

(5 pkt)

Podstawą graniastosłupa prostego ABCDEF jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AC | = |BC | , |AB | = 8 . Wysokość trójkąta ABC , poprowadzona z wierzchołka , ma długość 3. Przekątna ściany bocznej tworzy z krawędzią podstawy ABC kąt ∘ 60 (zobacz rysunek).