/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki Zestaw przygotowany przez serwis www.zadania.info poziom rozszerzony 28 marca 2015 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Wielomian W (x) = x5 + 2x3 + bx jest podzielny przez wielomian x 2 + 1 . Wynika stąd, że
A) b = − 3 B) b = − 1 C) b = 1 D) b = 3

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba ---2016!--- 2015!+ 2014! jest równa
A) 2015 B) 21015- C) 1 D) 2016

Zadanie 3
(1 pkt)

Która z poniższych funkcji nie ma ekstremów lokalnych?
A) f(x ) = |x+ 3| B) f(x) = 2 − x 4 C) f(x ) = x7 + 2x5 D) 3 f (x) = x − 2x

Zadanie 4
(1 pkt)

Okrąg o1 ma równanie (x − 2)2 + (y + 3)2 = 1 8 , a okrąg o 2 ma równanie (x− 1)2 + (y+ 4)2 = 8 . Określ wzajemne położenie tych okręgów.
A) Te okręgi przecinają się w dwóch punktach.
B) Te okręgi są styczne.
C) Te okręgi nie mają punktów wspólnych oraz okrąg o1 leży w całości wewnątrz okręgu o 2 .
D) Te okręgi nie mają punktów wspólnych oraz okrąg o2 leży w całości wewnątrz okręgu o1 .

Zadanie 5
(1 pkt)

W pokoju w kilkunastu ponumerowanych workach znajdują się kolorowe piłki. Miłosz z zamkniętymi oczami wybiera losowo jeden z tych worków, a potem z wybranego worka wybiera jedną piłkę. Prawdopodobieństwo wybrania białej piłki z worka numer 1 jest równe 0,3, a prawdopodobieństwo, że Miłosz wybierze worek numer 1 jest równe 0,4. Jakie jest prawdopodobieństwo tego, że Miłosz wybierze worek numer 1 i z tego worka wyjmie piłkę, która nie jest biała?
A) 0,7 B) 0,9 C) 0,12 D) 0,28

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Rozwiąż równanie ||x− 2|− 4 | = 3 .

Zadanie 7
(2 pkt)

Oblicz granicę ( √--2-- 2) lim n + -4nn−+23−n-- n→+ ∞ .

Zadanie 8
(2 pkt)

Funkcja f jest określona wzorem f(x ) = 1616 x dla każdej liczby rzeczywistej x ⁄= 0 . Oblicz pochodną funkcji f w punkcie x = − 2 .

Zadanie 9
(2 pkt)

Oblicz lo g 3 lo g 4 lo g 5 lo g 6 lo g 7 log 8 2 3 4 5 6 7 .

Zadanie 10
(3 pkt)

Oblicz pole trójkąta ograniczonego przez osie układu współrzędnych oraz styczną do wykresu funkcji y = −x 4 + 2x2 − 1 w punkcie x = 1 0 2 .

Zadanie 11
(3 pkt)

Rozwiąż równanie cosx + sin 3x = 0 .

Zadanie 12
(3 pkt)

Wykaż, że

8 8 8 8 8 8 8 8 √---+ --+ ---√--+ ---+ ----√---+ ---+ ⋅⋅⋅+ -----+ -------√---< 11 . 3 3 3⋅ 3 32 32 ⋅ 3 3 3 31007 3 1007 ⋅ 3

Zadanie 13
(3 pkt)

Na bokach BC ,CA i AB trójkąta ABC wybrano punkty K,L ,M takie, że

BK-- CL-- AM--- KC = LA = MB = k,gdzie k ∈ (0,+ ∞ ).

Oblicz stosunek pola trójkąta KLM do pola trójkąta ABC .

Zadanie 14
(4 pkt)

Wyznacz największą wartość funkcji ∘3 ----4---------3---------2------- f(x) = 3sin x + 2 cos x+ 3sin x + 4 .

Zadanie 15
(4 pkt)

Przekątna AC równoległoboku ABCD tworzy z jego bokami kąty o miarach ∘ 30 i ∘ 45 . Oblicz stosunek 2 |BD|2 |AC| kwadratów długości przekątnych tego równoległoboku.

Zadanie 16
(6 pkt)

W pierwszej urnie są kule czarne i białe, w drugiej 10 kul niebieskich i 15 kul zielonych, a w trzeciej – 14 kul niebieskich i 7 zielonych. Najpierw losujemy kulę z pierwszej urny, a następnie losujemy kulę z drugiej albo z trzeciej urny w zależności od tego, czy z pierwszej urny wylosowaliśmy odpowiednio kulę białą, czy czarną. Oblicz prawdopodobieństwo wylosowania czarnej kuli z pierwszej urny, jeżeli prawdopodobieństwo wylosowania według opisanego schematu kuli niebieskiej jest takie samo jak zielonej.

Zadanie 17
(5 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCS jest trójkąt równoramienny ABC , w którym |AB | = 6, |BC | = |AC | = 10 , a wszystkie krawędzie boczne tworzą z płaszczyzną podstawy kąt ∘ 60 . Oblicz objętość tego ostrosłupa.

Zadanie 18
(6 pkt)

Wyznacz wszystkie proste, które są jednocześnie styczne do paraboli 2 y = x oraz okręgu o równaniu x2 + (y+ 2)2 = 4 .

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania