/Szkoła średnia

Egzamin Maturalny
z Matematyki poziom rozszerzony 8 maja 2015 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Na rysunku przedstawiony jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych spełniających nierówność |2x− 8| ≤ 10 .

PIC

Stąd wynika, że
A) k = 2 B) k = 4 C) k = 5 D) k = 9

Zadanie 2
(1 pkt)

Dana jest funkcja f określona wzorem { f(x) = x− 2 dla x ≤ 0 ||x + 3|− 4| dla x > 0
Równanie f(x ) = 1 ma dokładnie
A) jedno rozwiązanie. B) dwa rozwiązania. C) cztery rozwiązania. D) pięć rozwiązań.

Zadanie 3
(1 pkt)

Liczba ( √ -)3 3− 2 3 jest równa
A) √ -- 27 − 24 3 B) √ -- 27 − 30 3 C) √ -- 135 − 78 3 D) √ -- 135 − 30 3

Zadanie 4
(1 pkt)

Równanie 2 sin x + 3 cosx = 6 w przedziale (0,2 π)
A) nie ma rozwiązań rzeczywistych.
B) ma dokładnie jedno rozwiązanie rzeczywiste.
C) ma dokładnie dwa rozwiązania rzeczywiste.
D) ma więcej niż dwa rozwiązania rzeczywiste.

Zadanie 5
(1 pkt)

Odległość początku układu współrzędnych od prostej o równaniu y = 2x + 4 jest równa
A) √ - --5 5 B) √ - 4--5 5 C) 4 5 D) 4

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Oblicz granicę ( 3 2 ) lim 11n6n+36+n+1-5− 2n5+n22−n4+1- n→+ ∞ .

Zadanie 7
(2 pkt)

Liczby (− 1) i 3 są miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f . Oblicz -f(6)- f(12) .

Zadanie 8
(3 pkt)

Udowodnij, że dla każdej liczby rzeczywistej x prawdziwa jest nierówność

4 2 x − x − 2x + 3 > 0.

Zadanie 9
(3 pkt)

Dwusieczne czworokąta ABCD wpisanego w okrąg przecinają się w czterech różnych punktach: P ,Q ,R,S (zobacz rysunek).

PIC

Wykaż, że na czworokącie P QRS można opisać okrąg.

Zadanie 10
(4 pkt)

Długości boków czworokąta ABCD są równe: |AB | = 2, |BC | = 3, |CD | = 4 , |DA | = 5 . Na czworokącie ABCD opisano okrąg. Oblicz długość przekątnej AC tego czworokąta.

Zadanie 11
(4 pkt)

W pierwszej urnie umieszczono 3 kule białe i 5 kul czarnych, a w drugiej urnie 7 kul białych i 2 kule czarne. Losujemy jedną kulę z pierwszej urny, przekładamy ją do urny drugiej i dodatkowo dokładamy do urny drugiej jeszcze dwie kule tego samego koloru, co wylosowana kula. Następnie losujemy dwie kule z urny drugiej. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia polegającego na tym, że obie kule wylosowane z drugiej urny będą białe.

Zadanie 12
(4 pkt)

Funkcja f określona jest wzorem f(x ) = x3 − 2x2 + 1 dla każdej liczby rzeczywistej x . Wyznacz równania tych stycznych do wykresu funkcji f , które są równoległe do prostej o równaniu y = 4x .

Zadanie 13
(5 pkt)

Dany jest trójmian kwadratowy 2 f(x) = (m + 1)x + 2(m − 2)x − m + 4 . Wyznacz wszystkie wartości parametru m , dla których trójmian f ma dwa różne pierwiastki rzeczywiste x1, x 2 , spełniające warunek x21 − x22 = x41 − x42 .

Zadanie 14
(5 pkt)

Podstawą ostrosłupa ABCDS jest kwadrat ABCD . Krawędź boczna SD jest wysokością ostrosłupa, a jej długość jest dwa razy większa od długości krawędzi podstawy. Oblicz sinus kąta między ścianami bocznymi ABS i CBS tego ostrosłupa.

Zadanie 15
(6 pkt)

Suma wszystkich czterech współczynników wielomianu 3 2 W (x) = x + ax + bx + c jest równa 0. Trzy pierwiastki tego wielomianu tworzą ciąg arytmetyczny o różnicy równej 3. Oblicz współczynniki a, b i c . Rozważ wszystkie możliwe przypadki.

Zadanie 16
(7 pkt)

Rozpatrujemy wszystkie stożki, których przekrojem osiowym jest trójkąt o obwodzie 20. Oblicz wysokość i promień podstawy tego stożka, którego objętość jest największa. Oblicz objętość tego stożka.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania