/Szkoła średnia

Poprawkowy Egzamin Maturalny
z Matematyki (formuła 2015)
poziom podstawowy 22 sierpnia 2023 Czas pracy: 170 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Liczba log 1− 1log 5 25 2 25 jest równa
A) ( ) − 1 4 B) ( ) − 1 2 C) 1 4 D) 1 2

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczba √ --- √ --- 3 45 − 20 jest równa
A) 1 (7 ⋅5) 2 B) 1 52 C) 7 D) 7 ⋅512

Zadanie 3
(1 pkt)

W ramach wyprzedaży sezonowej płaszcz o początkowej wartości 240 zł przeceniono na 200 zł. Zatem cenę tego płaszcza obniżono o
A) 2 16 3% jego początkowej wartości.
B) 20% jego początkowej wartości.
C) 40% jego początkowej wartości.
D) 8 31% 3 jego początkowej wartości.

Zadanie 4
(1 pkt)

Wartość wyrażenia --3−1-- (− 1)−2 ⋅81 9 jest równa
A) 1 3 B) ( 1 ) − 3 C) 3 D) (− 3)

Zadanie 5
(1 pkt)

Wartość wyrażenia √ -- √ -- (2 − 3)2 − ( 3 − 2)2 jest równa
A) ( ) √ -- − 2 3 B) 0 C) 6 D) √ -- 8 3

Zadanie 6
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) , punkt (− 8,6) jest punktem przecięcia prostych o równaniach
A) 2x + 3y = 2 i − x + y = − 14 B) 3x + 2y = − 12 i 2x + y = 10
C) x + y = − 2 i x − 2y = 4 D) x − y = − 14 i − 2x + y = 22

Zadanie 7
(1 pkt)

Zbiorem wszystkich rozwiązań nierówności − 3(x − 1) ≤ 5−33x- jest przedział
A) (− ∞ , 2] 3 B) (− ∞ ,− 2 ] 3 C) [ 2 ) 3,+ ∞ D) [ 2 ) − 3,+ ∞

Zadanie 8
(1 pkt)

Równanie 2 2 (x − 3x )(x + 1) = 0 w zbiorze liczb rzeczywistych ma dokładnie
A) jedno rozwiązanie. B) dwa rozwiązania.
C) trzy rozwiązania. D) cztery rozwiązania.

Zadanie 9
(1 pkt)

Funkcja f jest określona dla każdej liczby rzeczywistej x wzorem x−k- f(x) = x2+1 , gdzie k jest pewną liczbą rzeczywistą. Ta funkcja spełnia warunek f(1) = 2 . Wartość współczynnika k we wzorze tej funkcji jest równa
A) (− 3) B) 3 C) (− 4) D) 4

Zadanie 10
(1 pkt)

Miejscem zerowym funkcji liniowej f jest liczba 1. Wykres tej funkcji przechodzi przez punkt (− 1,4) . Wzór funkcji f ma postać
A) 1 f(x ) = − 2x + 1 B) 1 1 f (x) = − 3x + 3
C) f(x ) = − 2x+ 2 D) f (x) = − 3x + 1

Zadanie 11
(1 pkt)

Funkcja kwadratowa f jest określona wzorem f(x) = (x − 13 )2 − 25 6 . Jednym z miejsc zerowych tej funkcji jest liczba (− 3) . Drugim miejscem zerowym funkcji f jest liczba
A) (− 29) B) (− 23 ) C) 23 D) 29

Informacja do zadań 12 i 13

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) narysowano wykres funkcji y = f(x ) (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE
Zadanie 12
(1 pkt)

Funkcja f jest rosnąca w przedziale
A) [− 5,4] B) [5 ,7] C) [1,5] D) [− 1,5]

Zadanie 13
(1 pkt)

Funkcja g jest określona za pomocą funkcji f następująco: g(x ) = f(−x ) dla każdego x ∈ [− 7,− 5] ∪ [− 4,4 ]∪ [5 ,7] . Na jednym z rysunków A–D przedstawiono, w kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y ) , wykres funkcji y = g(x ) . Wykres funkcji y = g(x ) przedstawiono na rysunku

ZINFO-FIGURE

Zadanie 14
(1 pkt)

Funkcja kwadratowa f , określona wzorem f (x) = − (x − 1)(x − 5) , przyjmuje wartość
A) najmniejszą równą 3.
B) najmniejszą równą 4.
C) największą równą 3.
D) największą równą 4.

Zadanie 15
(1 pkt)

Ciąg (a ) n jest określony wzorem n n+-1 an = (− 1) ⋅ 2 dla każdej liczby naturalnej n ≥ 1 . Trzeci wyraz tego ciągu jest równy
A) 2 B) (− 2) C) 3 D) (− 1)

Zadanie 16
(1 pkt)

Czterowyrazowy ciąg (− 2, 1, x , y) jest geometryczny. Suma wszystkich wyrazów tego ciągu jest równa
A) ( 5) − 4 B) (−4 ) C) ( ) − 14 D) ( ) − 154

Zadanie 17
(1 pkt)

Koło ma promień równy 3. Obwód wycinka tego koła o kącie środkowym 3 0∘ jest równy
A) 3 4π B) 1 2 π C) 34 π + 6 D) 12π + 6

Zadanie 18
(1 pkt)

Kąt α jest ostry i √- cosα = 276- . Sinus kąta α jest równy
A) 24 49 B) 5 7 C) 25 49 D) √ 6 -7-

Zadanie 19
(1 pkt)

W okręgu O kąt środkowy β oraz kąt wpisany α są oparte na tym samym łuku. Kąt β ma miarę o 40∘ większą od kąta α . Miara kąta β jest równa
A) ∘ 40 B) ∘ 80 C) ∘ 10 0 D) ∘ 12 0

Zadanie 20
(1 pkt)

Pole trójkąta równobocznego o wysokości 3 jest równe
A) √ - 3--3 4 B) √ - 9--3 4 C) √ -- 3 3 D) √ -- 6 3

Zadanie 21
(1 pkt)

Każdy z kątów wewnętrznych dziesięciokąta foremnego ma miarę
A) ∘ 120 B) ∘ 135 C) 14 4∘ D) 150 ∘

Zadanie 22
(1 pkt)

Obwód trójkąta prostokątnego ABC jest równy L . Na boku CB tego trójkąta obrano punkt E , a na boku AB obrano punkt D tak, że DE ∥ AC oraz |AD | : |DB | = 3 : 4 (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Obwód trójkąta BED jest równy
A) 34L B) 37L C) 47L D) 1L 4

Zadanie 23
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) dane są prosta k o równaniu y = 3x − 7 4 4 oraz punkt P = (12,− 1) . Prosta przechodząca przez punkt P i równoległa do prostej k ma równanie
A) y = − 34x+ 8 B) y = 34x− 10 C) y = 4x− 17 3 D) y = − 4x + 15 3

Zadanie 24
(1 pkt)

W kartezjańskim układzie współrzędnych (x,y) punkt A = (− 1 ,− 4 ) jest wierzchołkiem równoległoboku ABCD . Punkt S = (2,2) jest środkiem symetrii tego równoległoboku. Długość przekątnej AC równoległoboku ABCD jest równa
A) √ -- 5 B) √ -- 2 5 C) -- 3√ 5 D) -- 6√ 5

Informacja do zadań 25 i 26

Każda krawędź graniastosłupa prawidłowego sześciokątnego ma długość równą 6.

Zadanie 25
(1 pkt)

Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe
A) √ -- 216 + 18 3 B) √ -- 216 + 54 3 C) √ -- 216 + 216 3 D) √ -- 216 + 1 08 3

Zadanie 26
(1 pkt)

Cosinus kąta nachylenia dłuższej przekątnej tego graniastosłupa do płaszczyzny podstawy graniastosłupa jest równy
A) 1 2 B) -2- √5 C) -1- √5 D) - √-3 2

Zadanie 27
(1 pkt)

W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym stosunek pola powierzchni bocznej do pola podstawy jest równy 12. Wynika stąd, że w tym ostrosłupie stosunek wysokości ściany bocznej do krawędzi podstawy jest równy
A) 24 B) 3 C) 6 D) 4

Zadanie 28
(1 pkt)

Na diagramie przedstawiono rozkład wynagrodzenia brutto wszystkich stu pracowników pewnej firmy za styczeń 2023 roku.

ZINFO-FIGURE

Średnia wynagrodzenia brutto wszystkich pracowników tej firmy za styczeń 2023 roku jest równa
A) 5 690 zł B) 5 280 zł C) 6 257 zł D) 5 900 zł

Zadanie 29
(1 pkt)

Wszystkich różnych liczb naturalnych czterocyfrowych, w których zapisie dziesiętnym wszystkie cyfry są różne, jest
A) 9 ⋅10 ⋅10 ⋅10 B) 9⋅8 ⋅7 ⋅6 C) 10 ⋅9⋅ 8⋅7 D) 9 ⋅9⋅8 ⋅7

Zadania otwarte

Zadanie 30
(2 pkt)

Rozwiąż nierówność 5 − x2 > 3x+ 1 .

Zadanie 31
(2 pkt)

Ciąg (3x2 + 5x ,x 2,20− x2) jest arytmetyczny. Oblicz x .

Zadanie 32
(2 pkt)

Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej x i dla każdej liczby rzeczywistej dodatniej y takiej, że x > 2y , prawdziwa jest nierówność

x2 + 3xy − 10y2 > 0.

Zadanie 33
(2 pkt)

Dany jest trapez równoramienny ABCD , w którym podstawa CD ma długość 6, ramię AD ma długość 4, a kąty BAD oraz ABC mają miarę 60 ∘ (zobacz rysunek).

ZINFO-FIGURE

Oblicz pole tego trapezu.

Zadanie 34
(2 pkt)

Rozwiąż równanie

2x − 3 1 ------- = ---. 3x − 2 2x

Zadanie 35
(2 pkt)

Ze zbioru pięciu liczb {1 ,2,3,4,5} losujemy bez zwracania kolejno dwa razy po jednej liczbie. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia A polegającego na tym, że obie wylosowane liczby są nieparzyste.

Zadanie 36
(5 pkt)

Punkty 22 21 A = ( 5 ,− 5 ), B = (6,7) oraz C = (− 9,2) są wierzchołkami trójkąta ABC . Symetralna boku AB tego trójkąta przecina bok BC w punkcie D . Oblicz współrzędne punktu D .

Rozwiąż on-line Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania