/Szkoła średnia

Próbny Egzamin Maturalny
z Matematyki (CEN Bydgoszcz)
poziom rozszerzony 3 marca 2016 Czas pracy: 180 minut

Zadania zamknięte

Zadanie 1
(1 pkt)

Funkcja | | f (x) = ||2x+a|| x+b jest funkcją malejącą w przedziale (− ∞ ;− 1⟩ oraz (1;+ ∞ ) , rosnącą w przedziale ⟨− 1;1 ) , a do jej wykresu należy punkt ( ) A = 9, 52 . Zatem wzór funkcji f ma postać
A) f(x ) = ||-5--+ 2|| x+1 B) f(x ) = ||-2--+ 2|| x−1 C) | | f(x ) = ||x4−1-+ 2|| D) |-2-- | f (x) = |x+1 + 2|

Zadanie 2
(1 pkt)

Liczb naturalnych siedmiocyfrowych, w zapisie których występuje dokładnie raz cyfra 7, dokładnie dwa razy cyfra 4, nie występuje cyfra zero, a pozostałe cyfry są między sobą różne jest
A) (7)⋅ (6) ⋅7 ⋅6⋅5 ⋅4 1 2 B) (7) ⋅(6)+ 7 ⋅6 ⋅5 ⋅4 1 2 C) 7 6 7 (1)⋅(2) ⋅(4) D) 7 6 4 (1)⋅(2) ⋅7

Zadanie 3
(1 pkt)

Ciąg (an) określony jest wzorem rekurencyjnym { a1 = − 3 an+ 1 = an + 2 dla n ≥ 1. Wówczas wzór ogólny ciągu (an) ma postać
A) an = 2n − 5 B) an = 2n − 5 C) n an = (− 1) ⋅(5 − 2n) D) an = − 3n + 2

Zadanie 4
(1 pkt)

Zbiorem rozwiązań nierówności 1 sin x > − 2 dla x ∈ ⟨− π ,π ⟩ jest
A) ⟨ ) ( ⟩ − π,− 23 π ∪ − π3-,π B) ⟨− π,− 5 π) ∪ (− π-,π ⟩ 6 6
C) ( 2 2 ) − 3π, 3π D) ( π π ) − 6,6-

Zadanie 5
(1 pkt)

Granica x2−2x lim √x+-2−2- x→2 równa jest
A) 0 B) 1 C) 8 D) + ∞

Zadania otwarte

Zadanie 6
(2 pkt)

Z pojemnika zawierającego 10 kul białych i 6 czarnych losujemy jedną kulę i wkładamy zamiast niej jedną kulę czarną. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że jeżeli teraz wylosujemy z pojemnika dwie kule, to obie wylosowane kule będą białe. Zakoduj trzy pierwsze cyfry po przecinku otrzymanego rozwiązania.

Zadanie 7
(3 pkt)

W ciągu arytmetycznym suma n początkowych wyrazów o numerach parzystych jest równa 2 6n − 4n . Oblicz sumę n początkowych wyrazów o numerach nieparzystych.

Zadanie 8
(3 pkt)

Wykaż, że jeżeli a > 0 i a ⁄= 1 , b > 0 i b ⁄= 1 , to |lo gab + logb a| ≥ 2 .

Zadanie 9
(3 pkt)

Na czworokącie ABCD można opisać okrąg. Długości boków tego czworokąta są równe |BC | = 12 , |CD | = 6 , |AD | = 10 , a kąt ABC ma miarę ∘ 60 . Oblicz długość promienia okręgu opisanego na czworokącie ABCD .

Zadanie 10
(4 pkt)

Funkcje f(x ) = − 4x2 − 8 , 2 2 g (x ) = 2x + 4ax + 2a + 4 i 2 2 h (x) = 8x + 4b mają tę własność, że dla każdej liczby rzeczywistej x , wartości funkcji f (x) , g(x ) i h (x) tworzą w pewnej kolejności trzywyrazowy ciąg geometryczny. Oblicz iloraz tego ciągu.

Zadanie 11
(5 pkt)

Rozwiąż nierówność, której lewa strona jest sumą szeregu geometrycznego (wszystkie składniki szeregu są różne od zera)

x2 − 4 ( x2 − 4) 2 ( x2 − 4) 3 -------+ ------- + ------- + ⋅⋅⋅ ≥ x+ 2. 5 5 5

Zadanie 12
(3 pkt)

Udowodnij, że jeżeli liczba 1 x+ x jest liczbą całkowitą, to liczba -1 3 x3 + x jest też liczbą całkowitą.

Zadanie 13
(4 pkt)

Rozwiąż równanie sin x sin 3x = 12 .

Zadanie 14
(5 pkt)

Długości krawędzi podstawy prostopadłościanu są równe √ - 52-2cm , a krawędź boczna ma długość 2 cm. Oblicz pole przekroju tego graniastosłupa płaszczyzną zawierającą przekątną podstawy i nachyloną do płaszczyzny podstawy pod kątem 60∘ . Sporządź rysunek i zaznacz na nim przekrój oraz kąt jego nachylenia do płaszczyzny podstawy.

Zadanie 15
(6 pkt)

Wszystkie wierzchołki trapezu ABCD (AB ∥ CD i |AB | > |CD | ) leżą na paraboli o równaniu y = 3− 13x2 . Wierzchołki A i B są punktami przecięcia tej paraboli z osią Ox . Oblicz współrzędne wierzchołka trapezu o obu współrzędnych dodatnich, dla którego pole trapezu jest równe 25 3 .

Zadanie 16
(7 pkt)

Liczby x1 i x2 są wszystkimi pierwiastkami rzeczywistymi równania x2 + (m − 5)x+ m 2 + m + 14 = 0 , przy czym zakładamy, że x = x 1 2 w przypadku, gdy równanie ma tylko jedno rozwiązanie. Zbadaj, dla jakich wartości parametru m , wyrażenie x1+x 2 x1x2- przyjmuje wartość najmniejszą. Oblicz tę wartość.

Arkusz Wersja PDF
Rozwiązania